Напряженное состояние при кручении. Деформации кручения

Напряженное состояние сдвиге

 

Кроме деформации растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Рассмотрим частный случай плоского напряженного со­стояния, для которого отличные от нуля главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 2.6.1, а).

Рисунок 2.6.1

 

Такое напряженное состояние носит название чистого сдвига (происхождение этого названия разъяснено несколько ниже).

На рис. 2.6.1,б показана проекция элемента на плоскость, со­впадающую с нулевой главной площадкой (отмечена на рис.2.6.1,а точками).

Максимальное для исследуемой серии площадок касатель­ное напряжение при α = 45°, max τ_α= σ₁. Это напряжение максимально для данной точки те­ла, а не только для исследуемой серии площадок, так как эти площадки параллельны вектору σ_2.

Итак, при чистом сдвиге:

τ₁₃=τ_max=σ₁= -σ₃ (2.6.3)

 

На площадках действия мак­симальных касательных напряжений нормальные напряжения отсутствуют; эти площадки показаны на рис. 2.6.1,б.

Чистый сдвиг — единственный случай плоского напряженно­го состояния, когда через точку можно проверти две взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напря­жения максимальны, а нормальные напряжения отсутствуют.

Итак, наряду с определением

чистый сдвиг — это частный случай плоского напряженного состояния, при котором не равные нулю главные напряжения равны по значению н противоположны по знаку,

возможно и другое определение, вытекающее из проведен­ного исследования:

чистым сдвигом называют такое плоское напряженное состояние, при котором в окрест­ности данной точки можно выделить элемент таким образом, чтобы на четы­рех его гранях были толь­ко равные между собой касательные напряжения.

Это последнее опре­деление можно рассмат­ривать как объяснение названия, принятого для данного напряженного со­стояния.

 

Деформации сдвига

Рассмотрим теперь вопрос о деформации сдвига. Изобра­зим элемент, выделенный площадками, на которых возникают только касательные напряжения, в проекции на плоскость, параллельную свободной от напря­жений грани (рис. 2.6.2), Учитывая, что нас интересуют деформации элемента, а не его перемещения как твёрдого тела, будем счи­тать одну из граней неподвиж­ной.

Рисунок 2.6.2

В результате деформации элемент примет форму показан­ную на рис. 2.6.2 штриховыми линиями. Мерой деформации сдви­га служит изменение первоначального прямого угла между гранями элемента, называемое углом сдвига и обозначаемое γ. Угол сдвига выражается в радианах.

В известных пределах, зависящих от свойств материала, ме­жду углом сдвига и соответствующим касательным напряже­нием существует прямая пропорциональность — закон Гука при сдвиге. Математическая запись этого закона имеет вид:

τ=Gγ (2.6.4)

Здесь G — упругая постоянная материала, характеризующая его жесткость при деформации сдвига и называемая модулем сдви­га или модулем упругости 2-го рода. Очевидно, размерность модуля сдвига та же, что и напряжения.

Можно доказать, что для изотропного тела между тремя упругими постоянными — модулем продольной упругости Е коэффициентом Пуассона ν и модулем сдвига G — существует следующая зависимость:

(2.6.5)

Как известно, значение коэффициента Пуассона лежит в пределах 0 < ν < 0,5 (см. лекцию 2.4). Следовательно, модуль сдвига составляет 0,33...0,5 от модуля продольной упругости. Для многих металлов и сплавов, в частности для стали, G = 0,4Е; в среднем для стали G = 8,0* 10⁴ МПа.

.

Напряженное состояние при кручении. Деформации кручения.

 

Общая деформация кручен стержня с круглым сечением изображена на рис. 2.6.3. Эта деформация характерна тем, что по сечения поворачиваются вокруг оси стержня на φ=φ(z), называемые углами закручивания, а в поперечных сечениях возникают касательные напряжения τ приводящие к крутящему моменту М_г

Рисунок 2.6.3

Напомним правило знаков для момента М_г: при взгляде на торцевое сечения элемента стержня со стороны его внешней нормали положительный момент направлен походу часовой стрелки. Угол поворота φ>0, если при взгляде на сечение в положительном направлении оси z видим поворот против часовой стрелки, см. рис.2.6.4:

Рисунок 2.6.4

Вывод формулы для касательных напряжений. Первое допущение состоит в том, что будем считать справедливой гипотезу плоских сечений, т. е. примем, что поперечные сечения при кручении, поворачиваясь вокруг оси z, остаются плоскими. Заметим, что для сечения не круглой формы это положение в общем случае не справедливо сечения при кручении искривляются, что существенно усложняет задачу см.рис 2.6.5:

Рисунок 2.6.5

Второе допущение утверждает, что все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол φ, т. е. каждое поперечное сечение поворачиваясь вокруг оси z как жесткий тонкий диск.

Согласно этим допущениям кручение представляет деформацию сдвига материала, заключенного между соседними поперечными сечениями, вызванную относительным поворотом этих сечений вокруг оси z.

С использованием указанных допусков на рис. 5 изображена деформация элемента стержня длинной dz выделенного из закручиваемого стержня (см. рис. 2.6.6) при произвольном значении z.

Рисунок 2.6.6

Произведя необходимые вычисления получим формулу для касательных напряжений τ:

(2.6.6)

, где М_г – крутящий момент;

ρ – радиус окружности (см. рис. 2.6.6);

J_ρ – полярный момент инерции сечения, для круглого стержня:

Подчеркнем, что по закону о парности касательных напряжений формула (2.6.6) определяет касательное напряжение в плоскости поперечного сечения и одновременно возникающее напряжение в перпендикулярной плоскости диаметрального продольного сечения вала. На рис. 2.6.7 показано распределение касательных напряжений вдоль радиуса в двух указанных сечениях. Каждый прямоугольный элемент материала, показанный на рис. 2.6.7, испытывает напряженное состояние чистого сдвига

Рисунок 2.6.7