Суждение. Суждения и умозаключения. Суждения и высказывания

1. В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение «всякий ромб является параллелограммом» – истинное суждение; суждение «всякий параллелограмм является ромбом» – ложное суждение.

Таким образом, суждение – это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Мыслить – значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.

Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение «всякий квадрат есть ромб» указывает, что понятие «квадрат» включается в понятие «ромб»; суждение «пересекающиеся прямые не являются параллельными» указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку – предложение, однако не всякое предложение является суждением.

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение « АВС равнобедренный» выражает некоторое суждение; предложение «Будет ли АВС равнобедренным?» не выражает суждения.

Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.

2. Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например «эта фигура – т – круг». Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура – окружность».

В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.

Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Они расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основных суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.

Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.

3. Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая в XIX в. специальная область науки – математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.

Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: «Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении». Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: «Если все растения красные и все собаки – растения, то все собаки красные».

Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие «здравого смысла» в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода (хотя, конечно существенна для понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении данного вопроса).

Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.

 

Математическая индукция и дедукция. Электронная хрестоматия по методике преподавания математики (http://fmi.asf.ru/library/book/mpm/index.html).

 

Индукция

Обратимся к методу индукции. Этот метод находит частичное (элементарное) применение уже в дошкольном возрасте и систематическое – в V-VI классах средней школы. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом.

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (от лат. «inductio» – наведение).

Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.

Для описания индуктивного метода обучения необходимо прежде всего выяснить, какие имеются виды индукции.

Наибольшее распространение в обучении математике получил такой вид как полная индукция: если множество А всевозможных частных случаев содержит бесконечное количество случаев, т.е. когда наши посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи, то заключение не является достоверно истинным высказыванием, а лишь вероятно истинно (правдоподобно) при истинности посылок.

Дедукция

Дедукция (в сравнении с индукцией) обладает меньшей эвристической силой. Дедуктивное доказательство объясняет изучаемый факт. В педагогических целях оно может быть дополнено элементами разъяснений, мотивировок, указаний на общее направление рассуждения, краткой аргументацией выбора математического метода и т.д.

Дедукция (от лат. «deductio» – выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).

Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие с учетом потребностей математики она получила в виде теории доказательства в математической логике.

Дедуктивное рассуждение (умозаключение) отличается от индуктивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т.е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. В отличие от индукции и аналогии в дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах (доказательствах математических предложений).

Дедукция как метод обучения математике включает:

1) обучение дедуктивным доказательствам и

2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

Рассмотрим эти два аспекта дедукции как метода обучения.

1) под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. В таком понимании это педагогическая задача первостепенного общеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамки математического образования. Учить доказывать означает, прежде всего, учить рассуждать, а это одна из основных задач обучения вообще. Что же касается значимости этой задачи для усвоения математических знаний, то она соразмерна значимости доказательства в самой математике.

Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: «Что?», «Откуда?», «Как?».

а) Что? – что доказывается? Каково «доказываемое» предложение, для которого мы ищем доказательство? Как оно формулируется? Все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе формулировать доказываемое предложение? Что «дано»? Что «требуется доказать»? Это далеко не полный перечень вопросов, которые мы объединяем в одном вопросе «Что?».

б) Откуда? – откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких уже известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы «вывести» это предложение?

Ответ на этот вопрос требует концентрации внимания на содержании условий и заключения доказываемого предложения с целью выделения тех уже известных предложений, которые как-то связаны с этими условиями. Совокупность этих предложений составляет базу для поиска доказательства. Эти совокупности могут быть различными, указывая на различные направления поиска, приводящие к различным доказательствам одной и той же теоремы.

в) Как? – как доказываемое предложение получается (выводится) из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)? Этот вопрос находит в массовой практике обучения простой ответ: «С помощью рассуждения».

2) В процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открываем, что при условии А имеет место некоторое свойство В. В таком случае предстоит доказать теорему, имеющую вид импликации А В, где А – условие, а В – заключение теоремы.

После доказательства теоремы А В изученный фрагмент теории, например геометрии, расширяется, включая и это предложение, которое в дальнейшем уже может использоваться в качестве одной из посылок при доказательстве других, новых теорем.

Однако расширено фрагмента теории только одним предложением, характерное для установившейся методики обучения, не является наиболее рациональным способом продвижения в теорию, расширения знаний применением дедукции в качестве метода обучения. Во-первых, этот способ не отражает специфики метода дедукции в самой математике. При описании реальных ситуаций, как правило, получают не одно предложение, а совокупность предложений, которая впоследствии исследуется с целью логического упорядочения, превращения в «маленькую» теорию, присоединяемую к уже изученному (построенному) фрагменту «большой» теории. Во-вторых, обычное использование дедукции в обучении нерационально, малоэффективно и с дидактической точки зрения. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрупненными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т.п.

Тема 9.Понятия. Отношения. Логические операции

Задание 1.

1.1. Продолжить предложения: «Алгоритм – это ……..», «Линейный алгоритм – это …..», «Разветвленный алгоритм – это …. », «Циклический алгоритм – это ….», «Инвариантность – это …»

1.2. В приведенной ниже таблице описать свойства алгоритма.

 

Свойства алгоритмов	Характеристика свойства
массовость
определенность
результативность

Задание 2.Описать игровые средства освоения детьми алгоритмических действий.

Название игры	Вид алгоритма	Правила игры
«Автотрасса»
«Выращивание дерева»
«Чудо мешочек»
«Преобразование слов»
Игры с обручами Эйлера (с одним, двумя и тремя обручами)
«Машина Поста»

Задание 3. . Изучить материалы исследований Р.Л. Непомнящей и составить план статьи «Особенности понимания детьми 6-7 лет отношений между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения».

Задание 4.Разработать план организации игровых обучающих ситуаций на освоение детьми ниже перечисленных зависимостей:

– между числом предметов, количеством их в группе и количеством таких равночисленных групп;

– между целым, частью и числом частей;

– между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения;

– между ценой, количеством товара и стоимостью покупки.

Составить к одной из них (на выбор) конспект, подобрать материал и подготовиться к проведению игровой ситуации в учебной группе.

Задание 5.. Самостоятельно разработать алгоритм и доказать необходимость его использования в определенном виде детской деятельности.

Список литературы для самостоятельного изучения

Основная

1. Давайте поиграем / Под ред. А.А. Столяра. – М.: Просвещение, 1991, 1996. – С. 45-52, 63-67.

2. Логика и математика для дошкольников / Авт.-сост. Е.А. Носова, Р.Л. Непомнящая. – СПб: Детство-пресс, 2005. – С. 32-49.

3. Михайлова, З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников / З.А. Михайлова. – М., 1990. – С. 93-102.

4. Михайлова, З.А. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста / З.А. Михайлова, Е.А. Носова. – СПб.: Детство-пресс, 2008. – С. 93-101, 236-258, 372-375.

5. Непомнящая, Р.Л. Особенности понимания детьми 6-7 лет отношений между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения / Р.Л. Непомнящая // Теория и методика развития математических представлений у дошкольников: Хрестоматия в 6-ти частях / Сост. З.А. Михайлова, Р.Л. Непомнящая. – СПб, 1993. – Часть 4-6. – С. 35-40.

6. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников: учеб. пособие / Под ред. А.А. Столяра. – М.: Просвещение, 1988. – С. 90-103.

Дополнительная

1. Барбашина, Н. Вариативность использования методов и приемов ТРИЗ / Н. Барбашина // Пралеска. – 2000. – № 5. – С. 38.

2. Басова, Т. ТРИЗ в детском саду / Т. Басова // Дошкольное воспитание. – 1995. – № 6. – С. 28.

3. Зак, А.В. Развитие интеллектуальных способностей детей 6-7 лет / А.В. Зак – М.: Новая школа, 1996. – 288 с.

4. Кербс, Е.В. Математические досуги / Е.В. Кербс // Ребенок в детском саду. - 2008. - № 3. – С. 21-23.

5. Мусиенко, С. И в шутку и всерьез: Математические праздники, методика их подготовки / С. Мусиенко // Дошкольное воспитание. - 2001. - № 10. – С. 18-25.

6. Носова, Е.А. Интеллектуальные игры и упражнения для дошкольников / Е.А. Носова. – Минск: Нар. асвета, 1998. – 64 с.

7. Обухова, Л.Ф. Экспериментальное формирование представлений об инвариантности у детей 5-6 лет / Л.Ф. Обухова // Теория и методика развития элементарных математических представлений у дошкольников: Хрестоматия в 6 частях. – Часть 1. – СПб, 1993. – С. 41-45.

8. Папи, Ф. Дети и графы / Ф. Папи, Ж. Папи. – М.: Педагогика, 1974. – 192 c.

9. Покровская, Т.А. День рождения, или Час занимательной математики / Т.А. Покровская // Дошкольник. Младший школьник. - 2005. - № 1. – С. 38-39.

10. Шаппо, С. Восхождение в творчество: Семинар по технологии ТРИЗ-РТВ. Из опыта работы / С. Шаппо // Пралеска. - 2002. - № 4. - С. 23-24.