Множества на комплексной плоскости
уравнение окружности в т z0 – центр.
Опр. ε-окрестностью т. Z0 называется множество т. Z, удовлетворяющих неравенству:
Т.е. это открытый круг с центром в т. Z и радиусом ε. Пусть определено некоторое множество Е. Точка Z называется внутренней точкой множества Е, если ∃ ε-окрестности этой точки целиком лежащая в Е. Множество Е у которого все точки внутренние, называется открытым. Множество Е называется связным, если 2 любые его точки можно соединить непрерывной кривой лежащей во множестве. Связное открытое множество называется областью Пусть дано множество Е. Множество всех граничных точек множества, называется его границей. Область вместе с присоединенной границей называется замкнутой областью. Область называется односвязной если ее граница состоит из 1 непрерывно замкнутой кривой. Область называется n – связной, если ее граница состоит из n. непрерывных, непересекающихся кривых.
9. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Если каждому числу z w=f(z) поставлено в соотв-ии единств-е число w, то область наз-ся однозначной, в противоположном случае-многозначной. Если однозначная ф-я такова, что 2-ум разл. Значениям z соотв-ют различные значения w, то такая ф-я наз-ся однолистной. Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0. Функция называется непрерывной в точке z0, если: Предел ФКП. Ф-я f(z) имеет предел при z→z0 =x0 + iy0 , если сущ-ют пределы Lim u(x,y)=u0(при x→x0, y→y0) Lim v(x,y)=v0(при x→x0, y→y0) Если ф-я двух перем. u(x,y) имеет предел в т.(x0,y0), то этот предел не зависит от направления. Дифференцируемость функции комплексной переменной .Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Необходимость условия дифференцируемости: Пусть функция f(z) диф. В точке z0 , т.е. существует , Достаточность условия дифференцируемости: Условия Коши-Риммана выполнено
10 . Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
11 .Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Сведение к определенному интегралу.
12. Теорема Коши для односвязной области. Первообразная. Неопределенный интеграл. Теорема Коши для многосвязной области. Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение. Первообразная: Если функция f(z) аналитична в некоторой области D И если аналитическая функция F(z) в этой области удовлетворяет рав-ву то F(z) называется первообразной для функции f(z) , Очевидно для любого C , F(z)+Cтак же будет первообразной . если F1(z) и F2(z) – первообразные для функции f(z), то F1(z)-F2(z)=C=const Неопр. интеграл : Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при n → ∞, max|Δ z k| → 0 (k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается . Теорема Коши для многосвязной области: Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так,что область остаётся с одной стороны, равен нулю.Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
13. Интегральная формула Коши. Формула Коши для старших производных. Теорема Морера. Ряд Тейлора. Следствие Теорема Морера Если ф-ия f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл от этой ф-ии по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой области равной 0, то ф-ия f(z) аналитична в этой области D Ряд Тейлора Пусть ф-ия f(z) аналитична в некоторой области D и пусть в этой области задана l ограничивающая некоторую область w. Тогда ряд Называется рядом Тейлора ф-ии f в точке а.
14. Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Кольцо сходимости. .
15. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. теряет свою аналитичность. Особая точка z0 называется изолированной особой точкой , если функция f(z) аналитична всюду в кольце 0 , а в т. z0 теряет свою аналитичность . Z0=0 0 Zk= Опр. Изолированая особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z) аналитической в кольце 0 , если Опр. Изолированая особая точка называется полюсом функции f(z), аналитической в кольце Опр. Изолированая особая точка z0 называется сущетсвенной особой точкой функции f(z),аналитической в кольце 0 . Устранимая особая точка и точка и разложения функции в ряд Лорана в окрестностях устранимой особой точки. Теорема. Изолированая особая точка z0 является устранимой особой точки функции f(z) тогда и только тогда , когда разложения функции f(z) в окрестности этой точки не содержит главной части т.е.,ряд Лорана состоит из правильной части. Дост-сть Пусть так и есть Тогда Необх-сть Пусть т.z0 является устранимой особой точкой. f(z) , в некотрой окрестности z0
16. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. F(z) = при этом 0 , =0 , 0 , тогда вычет функции res Z0 f(z)= res Z0 f(z)= 0)= 0) = = = = = Вычет в бесконечно удаленной особой точке. Z= f ( =f f(z) =a0 + a1z + a2z + … f ( =a0 + a1 +a2 + … res Z0 f(z) = f(z) = k Zk res Z0 f(z)= k k dz = ( -2 -1) = - C–1 Вычет функции в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту С-1 со знаком – разложения функции в ряд Лорана по степеням z
17. Применение вычетов к вычислению определенных и неопределенных интегралов. Пусть требуется найти Теорема. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, … zn лежащих в верхней полуплоскости. |z|≥R |f(z)|= , где m≥z R – такое, что все особые m попадают внутрь окружности радиуса R. Тогда
18. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
Прин. арг.Теор. Пусть ф-ия f(z) аналитическая в области D всюду за исключением конечного числа полюсов z1,z2,…,zk и p1,p2,…,pkи пусть ф-ия f(z) непрерывна на границе области Г, нигде на этой границе не обращается в нулю, а внутри обл. Dимеет лишь конечное число нулей a1,a2,…,am порядков n1,n2,…,nm. Тогда справедливо следующее выражение: Гargf(z)=N-P (2). Здесь N= n1+n2+…+nm - общее число нулей с учетом их кратности; P= p1+p2+…+pk - общее число полюсов с учетом их порядка, ΔГargf(z) - приращение аргумента ф-ии при обходе вдоль контура Г. ΔГargf(z)= Гargf(z); Zk =n1+n2+…+nm-p1-p2-…-pk=N-P.Следствие1: если ф-ия аналитическая внутри контура γ, то Гargf(z)=N. Следствие2: число оборотов ф-ии при
обходе контура является целым число. Руше. Теор. Пусть ф-ии f(z)иg(z) аналитические внутри контура γ, а на самом контуре удовлет. неравенству|f(z)|>|g(z)|, тогда ф-ии f(z)и f(z)+g(z) имеет внутри контура одинаковое число нулей. |f(z)|>|g(z)|≥0; |f(z)|>0; |f(z)+g(z)|≥|f(z)-g(z)|>0; f(z)и f(z)+g(z)не обращается вна контуре в нуль. ΔГarg(f(z)+g(z))=ΔГargf(z)(1+ )= ΔГ(argf(z)+arg(1+ ))= ΔГargf(z)+ ΔГarg(1+ )= ΔГargf(z)=2πiN. Осн. Теор. Алг. Ур-е a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0 (3) имеет в комплексной плоскости ровно n корней. Док-во: Рассмотрим f(z)=a0zn; g(z)=a1zn-1+…+an. Возьмем окружность радиусаR достаточно большого, такого чтобы многочлен g(z) не имел вне этой окружности корней и чтобы выполнялось неравенство |f(z)|>|g(z)|. Очевидно это можно сделать, т. к. степенная ф-ия zn растет быстрее, чем любой многочлен меньшей степени. Тогда по Теор. Руше ф-ия f(z)и f(z)+g(z) имеют одинаковое число нулей внутри этой окружности.
19. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения. f1(t) .=. F1(s) ; f2(t) .=. F2(s) Cв-ва: 1) c*f1(t) .=. c*F1(s) 2) f1(t) + f2(t) .=. F1(s) + F2(s) Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям: 1. при t < 0 2. при t > 0, M > 0, 3. На любом конечном отрезке [ab ] , положительный полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. a) ограничена, b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода, c) имеет конечное число экстремумов. Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Дифференцирование оригинала:
Дифференцирование изображения: Интегрирование оригинала: Интегрирование изображения
20. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свертка функций. Изображение основных элементарных функций. называется функцией Хевисайда или единичной функцией Хевисайда. Теорема смещения: Если f (t) F(p), то e α t f (t) F(p − α),. Здесь α - произвольное комплексное число. Теорема запаздывания : Если f (t) F( p) (т.е. f (t) · η(t) F( p)), то f (t − t0) · η(t − t0) e −t0 · p · F( p) для любого числа t0 ≥ 0. Теорема подобия: Если f (t) - функция-оригинал и f (t) F(p), то для любого λ > 0 . Свертка функции: Сверткой функций f1(t) и f2(t) называется функция .
Изображение основных элементарных функций: 1/S
Применяя теорему о подобии получим
21. Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. x’(0)=x0,…, (0)= Пусть f(t) F(s) ; x(t) – решение этого у-я Тогда x’(t) s 2016-01-26 |
816 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Множества на комплексной плоскости |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы