Методы решения однородных дифференциальных уравнений
Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический Университет» Кафедра электротехники и электрических машин
Конспект лекций По дисциплине «Численные методы расчета Электрооборудования» для студентов направления 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника» Квалификация выпускника – магистр
Разработал: к.т.н., доц. И.Н. Автайкин
Обсужден на заседании кафедры электротехники и электрических машин 25 августа 2015 г. (протокол № 1) Секретарь кафедры к.т.н., доц. С.А. Попов
2015 г. Лекция № 1 (2 часа) По дисциплине «Численные методы расчета электрооборудования» Тема № 4. Численное дифференцирование
Цели: 1. Формирование следующих компетенций: ПКД-3 Способностью к освоению и применению современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования 2. Формирование уровня обученности: Знать: современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования. Уметь: применять современные методы решения математических задач с использованием компьютерной техники. Владеть: современным математическим аппаратом позволяющим анализировать математические модели электрооборудования.
Материальное обеспечение: Учебные вопросы
1. Метод Эйлера; 2. Усовершенствованный метод Эйлера; 3. Модифицированный метод Эйлера; 4. Метод Рунге-Кута. Литература 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 631с. 2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 535с.
Методы решения однородных дифференциальных уравнений. Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории. 1) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) 2) Дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде (1) независимая переменная Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения. Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной (2) Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество. Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3) Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2). Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.
Метод Эйлера.
Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы. Пусть дано уравнение с начальным условием то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами Уравнение касательной имеет вид Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке : или (4) Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке . Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения. Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек . Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы (5)
Рисунок. 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке xi называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции yi мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (yi) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования
где - решение, рассчитанное с шагом 2h , – решение, рассчитанное с шагом h .
Пример В качестве примера проведем расчеты по формулам метода Эйлера с шагом h=0,05 и h=0,1 для задачи Коши .
Формулы для расчета имеют вид
Рассчитываем с шагом h = 0.1 0. 1. 2. 3. *** 10.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (535)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |