Усовершенствованный метод Эйлера
Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций. Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид: (6) А формула (5) получает вид (7) Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (5) находят значение (8) В точке а затем находится по формуле (7) с шагом (9) После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (7) ….
Пример В качестве примера проведем расчеты по формулам усовершенствованного методаЭйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .
;
***
Модифицированный метод Эйлера Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида. Прогноз: (10) Коррекция: (11) Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений. Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.
Пример В качестве примера проведем расчеты по формулам модифицированным методомЭйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .
Таблица Решение уравнения модифицированным методами Эйлера
Точное решение имеет вид
Метод Рунге-Кутты Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты. В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 , xi]. тогда можно определить так Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений .
При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности. Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h4): где Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1805)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |