 |
Главная |
Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы)
 2016-01-26 |
 610 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Если X1, X2, . . . , Xn−r — любая фундаментальная система приведенной системы (3), а Сn — любое частное решение неоднородной системы (3), то сумма X = Cn + 
1 X1 + 
2 X2 + . . . + n−r Xn−r (6) при любых произвольных постоянных j, 
, является общим решением неоднородной системы (1).
Доказательство. Пусть С – общее решение неоднородной системы (1), Сn – любое частное решение неоднородной системы (1). Тогда ( С – Сn ) – решения неоднородной системы (3). По теореме о структуре общего решения однородной системы С
С – Сn = 1 X1 + 2 X2 + . . . + n−r Xn−r ,
где 1, .., n - r - произвольные постоянные.
X1, .. , Xn – r - ФСР приведенной системы (3)
C = Cn + 1 X1 + 2 X2 + . . . + n−r Xn−r .
Билет № 16
Векторная ортогональная проекция напр. Отрезка АВ на ось l называется напр отрезок А’B’, где А’иB’- проекции точек А и В на ось l.
Теорема 1. 1. Ортогональная проекция вектора a на направление ненулевого вектора l равна длине |a|, умноженной на косинус угла φ между векторами a и l, т. е. где (a, l) — угол между векторами a и l. 
◄ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора a с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1. 10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора a=AB на прямую L.
Если угол φ между векторами a и l острый (как это показано на рис. 1. 10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция a на направление вектора l равна длине |AC | = |AB| cos φ катета AC треугольника ABC.
Если угол φ тупой (см. рис. 1. 10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные cтоpоны от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора a равна - |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π - φ, поэтому |AC | = |AB | cos(π - φ) = - |AB| cos φ.
Если же φ = π/2 или a = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нyлевым вектором. Однако cos π/2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. ►
Теорема 1. 2. Ортогональная проекция cyммывeктopoв на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число:
◄ Доказательство следует из рис. 1. 11. В случае, изображенном на рис. 1. 11, а, имеем прl a = |AB|, пpl b = -|BC|, пpl(a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. В случае, изображенном на рис. 1. 11, б, пpl a = |AB| и, если λ > 0, пpl(λa) = |AE| = λ|AB|. Оcтальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ ≤ 0 в случае б) рассматриваются аналогично. ►
Билет №17
Билет №24
Опр:Непустое множество M векторов линейного пространства L называется
подпространством, если
I. для любых 
, 
∈M + ∈M;
II. для любого ∈M и любого α ∈ K α ∈M.
Подпространство M обладает следующими свойствами:
1) если 
... 
- вектора линейного подпространства М, то любая их комбинация α 
…α 
тоже лежит в подпространстве М
2) Линейное подпространство М само является линейным пространством
Д: 1) Основываясь на условия, соответствующие линейному подпространству (для любых , ∈M + ∈M;для любого ∈M и любого α ∈ K α ∈M.), можно сделать вывод, что линейная комбинация векторов ... тоже лежит в этом подпространстве.
2) Для любого 
: 
Доказать, что 1) множество всех решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства 
2) размерность пространства решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными равна n-r где r=rangA
Д:1) Пусть Х1 Х2 – частные решения однородной СЛАУ, Х – общее решение однородной СЛАУ, тогда для Х, Х1, Х2 выполняются следующие условия:
Х=Х1+Х2
Х=Х2
Х=α1Х1+…+αmХm
Таким образом Х линейное подпространство арифметического пространства
2) Т.к. однородная СЛАУ имеет n-rрешений, то есть Х=Х1+…Хn-rа Х является линейным подпространством М, то размерность М равна количеству решений однородной СЛАУ, значит dimM=n-r (dim– размерность)
Билет №28
Коллинеарные прямые
Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.
Получим условие коллинеарности двух прямых 
и 
, заданных общими уравнениями:
(1)
Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (1) является условие коллинеарности их нормалей 
и 
. Следовательно, если прямые (1) коллинеарны, то 
, т.е. существует такое число 
, что
и наоборот.
Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо 
. Тогда первое уравнение в (1) имеет вид 
, т.е. равносильно второму, поскольку .
Таким образом, прямые (1) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что 
, но 
. Прямые (1) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:
Условия параллельности или совпадения прямых (1) можно записать в виде
Условие коллинеарности двух прямых (1) можно записать в виде
Пересекающиеся прямые
Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (1) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
(2)
При этом условии система уравнений
имеет единственное решение 
, которое определяет точку 
пересечения прямых (1).
Угол между прямыми.Пусть две прямые ℓ1 и ℓ2 с направляющими векторами 
= (m1, n1) и 
= (m2, n2) заданы своими каноническими уравнениями:
ℓ1 : 
;
ℓ2 : 
.
Угол ϕ между прямыми ℓ1 и ℓ2 равен углу между их направляющими векторами и , если ( , ) > 0, и дополняет этот угол до π, если ( , ) < 0.
Следовательно,
.
Если прямые заданы общими уравнениями
A1x + B1y + C1 = 0,
A2x + B2y + C2 = 0, то,
учитывая связь между координатами направляющих векторов = (m1, n1) и = (m2, n2) и их нормалями 
= (A1, B1) и 
= (A2, B2):
A1 = n1, B1 = −m1; A2 = n2, B2 = −m2,
из можно получить еще одну формулу:
.
· Углом от прямой ℓ1 до прямой ℓ2 называется угол от направляющего вектора = (m1,n1) прямой ℓ1 до направляющего вектора = (m2,n2) прямой ℓ2. Его обозначают ∠(ℓ1 
ℓ2).
Определенный таким образом угол, вообще говоря, зависит от ориентации направляющих векторов и прямых ℓ1 и ℓ2. Если направляющие векторы выбраны так, как показано на рис. a, то
(положительным считается направление вращения против часовой стрелки).
Если же направляющие векторы выбраны так, как показано на рис.б, то
, где ϕ — угол между векторами и , показанный на рис. a.
Таким образом запишем
.
можно эту формулу переписать через координаты нормалей = (A1,B1) и = (A2,B2) к прямым:
.
Перейдя от общих уравнений прямых к уравнениям с угловыми коэффициентами
y = k1x + b1, y = k2x + b2, найдем связь между координатами нормалей и угловыми коэффициентами: k1 = − 
, k2 = − 
.
Теперь, разделив числитель и знаменатель правой части на B1B2, получим
Это соотношение запишется в виде tg[∠(ℓ1 7→ ℓ2)] = k2 − k1 1 + k1k2 . 
Прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны, если угол между ними равен нулю. Условия параллельности двух прямых:
k1 = k2
Прямые ℓ1 и ℓ2 будут перпендикулярны, если угол между ними будет равен π/2. Это возможно при выполнении условий
m1m2 + n1n2 = 0, A1A2 + B1B2 = 0, k1 = − 1 /k2 (tg π /2 → ∞, 1 + k1k2 = 0)
Формулы определяют условия перпендикулярности двух прямых.
Если угол между прямыми отличен от нуля, т.е.
k1 ≠k2
то они пересекаются в единственной точке x0, y0, которую можно найти, например, из системы
A1x + B1y = −D1,
A2x + B2y = −D2.
Единственность решения x0, y0 системы и, следовательно, точки пересечения гарантирована условием 
Для параллельных прямых из системы следует, что они либо совпадают, и в этом случае 
,
либо вообще не пересекаются, и в этом случае
В первом случае система не определена и имеет бесконечное множество решений, а во втором система несовместна.
| 2016-01-26 |
610 |
Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обсуждение в статье: Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) |
|
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы