Теорема о свойстве алгебраических дополнений соседних строк(столбцов)

Теорема: сумма произведений какой-либо строки(столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки(столбца) равна нулю, т.е.

=0 ( =0 ,i≠j , I,j= )

Доказательство: A =(a_ij)∈M_n

detA= = +…+

A( на место строки j ставим строку i)→матрицу В

detB= = +…+ =0, i≠j

Билет №4

Существование обратной матрицы

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрица такая, что . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем . Отсюда , что противоречит предположению . Следовательно, обратная матрица единственная.

Метод Гаусса-Жордана

БИЛЕТ № 6

Ранг матрицы – максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Обозначение: rangA=rankA=rgA=r(A).

Базисный минор – любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы. Строки и столбцы матрицы, в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре: 1. Базисные строки/столбцы линейно независимы; 2. Любая строка/столбец является линейной комбинацией базисных строк/столбцов.

Док-во: 1. Докажем от противного. Пусть . Пусть Mr расположен в левом верхнем углу матрицы (для удобства). Тогда столбцы a₁…a_r – базисные. Пусть a₁…a_r линейно зависимы, тогда по свойству определителя Mr=0 – противоречие. Следовательно, a₁…a_r линейно независимы.

2. Пусть ak, k>r – произвольный столбец матрицы А. Покажем, что ak – линейная комбинация базисных столбцов:

a_k=α₁a₁+…+ α_ra_r или a_ik= α₁a_i1+…+ α_ra_ir. , detB_i=M_r+1=0, i= - по определению базисного минора. Следовательно, DetB_i=a_i1A_r+1,1+…+a_irA_r+1,r+a_ikA_r+1,r+1=0

A_r+1,r+1=(-1)^r+1,r+1*Mr=Mr≠0 →detB_i/A_ik=(A_r+1,1/A_ik)a_i1+…+a_ik=0 →a_ik=(-A_r+1,1/A_ik)a_i1+…+(-A_r+1,r/A_ik)a_ir=(-A_r+1,1/Mr)a_ir+(-A_r+1,r/Mr)a_ir →a_ik – линейная комбинация. Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы о базисном миноре: для квадратной матрицы A=(aij)cMn, detA=0, по крайней мере один столбец/строка является линейной комбинацией остальных.

Доказательство: т.к. detA=0 →rangA=r≤n-1 → как минимум один столбец/строка не является базисным, а выражается их линейной комбинацией. Что и требовалось доказать.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя матрицы: определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо его строка/столбец является линейной комбинацией других строк/столбцов.

Доказательство: Необходимость. Пусть detA=0, тогда хотя бы одна его строка является линейной комбинацией остальных

Достаточность. Пусть a_1i – линейная комбинация других строк, i= →по свойству определителя detA=0. Что и требовалось доказать.

Теорема о ранге матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк/столбцов.

Доказательство: Пусть rangA=r, а столбцы ai1…aim, i=1,m – максимальная линейно независимая система. Из условия равенства нулю детерминанта следует, что r>=m. Так как m – максимальная система, а r – наибольшее количество независимых столбцов => r=m. Что и требовалось доказать.

Свойства ранга матрицы:

1. rangA=rangA^t

2. если все строки/столбцы матрицы А линейно выражаются через строки/столбцы матрицы В, то rangA<=rangB

3. rang(A*B)<=rangA, rang(A*B)<=rangB

4. ранг матрицы не изменится при умножении её на невырожденную матрицу

Методы вычисления ранга матрицы:

1. Метод элементарных преобразований.

При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не изменяется.

Доказательство: матрицы элементарных преобразований Pij, Di, Lij: detPij=-1, detDi=a, a≠0, detLij=1 => по свойству (4) ранг не изменится.

Ранг верхней ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Доказательство: количество ненулевых строк верхней ступенчатой матрицы есть максимальное число линейно независимых строк, следовательно, это и есть ранг матрицы.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор M_k+1 называется окаймляющим минор Mk, если Mk получается из M_k+1 вычеркиванием одной строки и одного столбца.

Теорема об окаймляющих минорах: если матрица А имеет минор Mr≠0 порядка r, для которого все содержащие его миноры порядка (r+1) равны нулю, то rangA=r.

Доказательство: пусть Mr≠0 находится в левом верхнем углу матрицы А=(aij)cMmxn. Тогда столбцы 1…r и строки 1…r являются линейно независимыми. Рассмотрим миноры M_l, l= :

ð столбец (r+l) линейно зависим от первых r столбцов. Аналогично получаем линейную зависимость всех остальных столбцов => наибольшее количество линейно независимых столбцов равно r=rangA. Что и требовалось доказать.

Билет № 11

. Связь между решениями однородной и неоднородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Неоднородная система уравнений АХ=В (1),

где , , . (2)

Система линейных однородных уравнений АХ=0 (3).

Теорема 1. Сумма любого решения неоднородной системы (1) с любым решением ее приведенной системы (3) также является решением неоднородной системы (1).

Доказательство. Пусть Х – решение системы (1), а Х₀ – решение системы (3). Обозначим через их сумму

= Х + Х₀ (4)

Подставив (4) в (1), найдем

А = А(Х + Х₀) = АХ + АХ₀

откуда с учетом (1) и (3) имеем

АХ = В + 0 = В

чтд.

Теорема 2.Разность двух любых решений неоднородной системы (1) является решением ее приведенной системы (3).

Доказательство. Пусть X₁ и X₂ удовлетворяют уравнению (1), т.е.

AX₁ = B,

AX₂ = B. (5)

Вычтя из первого уравнения (5) второе, найдем

A(X₁ – X₂) = 0,

что и требовалось доказать.