Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного

Рассмотрим сначала способ, основанный на разложении данных чисел на простые множители.

Пусть даны два числа 3600 и 288. Представим их в каноническом виде: 3600 = 24·32·52; 288 = 25·32. Найдем наибольший общий делитель данных чисел. В его разложение должны войти все общие простые множители, которые содержатся в разложениях чисел 3600 и 288, причем каждый из них нужно взять с наименьшим показателем, с каким он входит в оба разложения. Следовательно, D(3600, 288) = 24·32 = 144.

Вообще чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел:

1) представляют каждое данное число в каноническом виде;

2) образуют произведение общих для всех данных чисел простых множителей, каждый с наименьшим показателем, каким он входит во все разложения данных чисел;

3) находят значение этого произведения - оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Найдем наименьшее общее кратное чисел 3600 и 288. В его разложение должны войти все простые множители, которые содержатся хотя бы в одном из разложений чисел 3600 и 288, причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем, с каким он входит в оба разложения. Следовательно, D (3600, 288) = 25 ·32·5 = 7200.

Вообще чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел:

1) представляют каждое данное число в каноническом виде;

2) образуют произведение всех простых множителей, находящих­ся в разложениях данных-чисел, каждый с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;

3) находят значения этого произведения, оно и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Найдем наибольший общий делитель и наименьшее об­щее кратное чисел 60, 252 и 264.

Решение. Представим каждое число в каноническом виде: 60 = 22·3·5, 252 = 22·32·7, 264 = 23·3·11.

Чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел, образуем произведение общих для всех данных разложений простых множите­лей, каждый с наименьшим показателем, с каким он входит во все решения данных чисел: D(60, 252, 264) = 22·3 = 12.

Наименьшее общее кратное чисел можно найти, образовав произве­дение всех простых множителей, находящихся в данных разложениях, каждый с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложе­ния данных чисел, т.е. K(60, 252, 264) = 23··32·5·7·11 = 27720.

Найдем наибольший общий делитель и наименьшее об­щее кратное чисел 48 и 245.

Решение. Представим каждое число в каноническом виде: 48 = 24 · 3, 245 = 5· 72.

Так как разложения данных чисел не содержат общих простых множителей, то D(48, 245) = 1, а К(48, 245) = 48· 245 = 10760.

Отыскание наибольшего общего делителя двух натуральных чисел по их каноническому виду требует предварительного разложения чисел на простые множители. Это несложно сделать, если числа не велики, но для многозначных чисел найти их каноническое разложение бывает трудно. Существует способ отыскания наибольшего общего делителя, требующий лишь деления с остатком. Этот способ был предложен Евклидом, и его называют алгоритмом Евклида. Он основан на следующих трех утверждениях:

1. Если а делится на b, то D(a, b) = b.

Доказательство: Так как а делится на b и b делится на b, то b общий делитель чисел a и b. Но любой делитель числа b не превосходит этого числа. Поэтому все общие делители a и b не превосходят b. Значит b = D(a, b).

2. Если а = bq + r и r < b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает с множеством общих делителей чисел.

Доказательство: Пусть d – общий делитель b и r. Так как b и r делятся на d, то и a = bq + r делится на d, значит, любой общий делитель чисел b и r является общим делителем чиcел b и a. Обратно, если b – общий делитель a и b, то d является и делителем r, так как r = a – bq. Значит, любой общий делитель a и b является общим делителем b и r. Таким образом множества совпадают.

3. Если а = bq + r и r < b, то D(a, b) = D(b, r).

Доказательство: По утверждению 2 множества общих делителей совпадают. А тогда оба множетва имеют один и тот же наибольший элемент, т.е. D(a, b) = D(b, r).

Сформулируем теперь алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел а и b.

Пусть а > b.

Если а делится на b, то D{a, b) = b.

Если при делении а на b, получается остаток r, то а = bq + r и D(a, b) = D(b, r) и задача свелась к отысканию наибольшего общего Делителя чисел b и r.

Если b делится на r, то D(b, r) = r и тогда D(а, b) = r.

Если при делении b на r получается остаток r1, то b = rq1 + r1 и поэтому D(r, r1) = D(b, r) = D(a, b).

Продолжая описанный процесс, получаем все меньшие и меньшие остатки. В конце концов получим остаток, на который будет делиться предыдущий остаток. Этот наименьший, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

1. Ботаника как раздел биологии. Краткая история ботаники. Дифференциация и интеграция ботанических знаний. Основные разделы ботаники. Научные и

практические задачи ботаники. Космическая роль зеленых растений.

Ботаника (от греч. botane – растение, трава) – наука о растениях, их развитии, строении, географическом распространении и пр. Она изучает особенности жизнедеятельности растительных организмов, связь растений с условиями их обитания, эволюцию растительного мира, закономерности формирования растительного покрова Земли и многие другие вопросы, так или иначе связанные с царством растений. . Этот раздел биологии формировался в 17-18 веке.

Предмет исследований ботаники это растения, их строение, развитие, родственные связи, возможность хозяйственного применения растений и т.д.

Краткая история ботаники. Жизнь человека со времени его появления на Земле связана с миром растений. Растения удовлетворяли его потребности в пище, одежде, строительстве жилищ, врачевании. Современная ботаника – это комплекс большого числа наук, которые исторически возникали в определенной последовательности. Момент зарождения какой-либо науки определяется временем появления письменных систематизированных обобщений в данной области Первые письменные упоминания об используемых человеком растениях были обнаружены в египетских гробницах в III тыс. до н. э.

Основы ботаники как науки зародились в Древней Греции. Аристотель (384 – 322 до н. э.) признавал существование в окружающем мире неодушевленной и живой природы, которую впоследствии он разделил на царство растений и царство животных. Но «отцом» ботаники стал ученик Аристотеля Теофраст (370 – 286 до н. э.). В своих трудах «Естественная история растений» и «О причинах растений», сохранившихся лишь в виде нескольких фрагментов, он осветил вопросы общей и практической ботаники, физиологии растений, составил первую классификацию растений, разделив их на деревья, кустарники, кустарнички и травы. Он обобщил наблюдения практиков сельского хозяйства и медицины.

Впоследствии в связи с началом мрачного периода Средневековья Греция утратила ведущую роль в развитии культуры и науки. Производство, торговля, наука и культура пришли в упадок. Лишь в конце этого периода очень медленно начал возвращаться интерес к работам древнегреческих мыслителей. Однако только в XV в. началось истинное возрождение естественных наук, чему немало способствовало открытие в Европе первых академий наук, создание ботанических садов, коллекции которых пополнялись за счет торговли с другими странами. В России первый ботанический сад был основан в 1714 г. по указу Петра I в Петербурге. В историю науки он вошел под названием «Аптекарский огород».

В XVI в. появились работы о внутреннем строении растений. Честь открытия клетки принадлежит англичанину Роберту Гуку (1635 – 1703). В 1671 г. почти одновременно в Лондонское Королевское общество поступили работы по анатомии растений итальянского ученого Марчелло Мальпиги (1628 – 1694) и английского исследователя Неемии Грю (1628 – 1671), которых считают основателями этого раздела ботаники.

Большое значение для развития ботаники имели работы шведского ученого Карла Линнея (1707 – 1778), заслуга которого состоит в разработке терминологии, заменившей пространные описания растений, и бинарной номенклатуры, согласно которой название растений состоит из двух слов: названия рода и видового эпитета. Линнею принадлежит и классификация растений, основанная на строении цветка.

В XIX в. успешно развивалась наука о клетке. Русский ученый И. Д. Чистяков (1849 – 1877) впервые описал деление ядра в клетках прорастающих спор плаунов и хвощей.
Важнейшим событием в истории ботаники конца XVIII – начала XIX в. было появление работ по физиологии растений. Работами Дж. Пристли (1733 – 1804), Ж. Ингенхаура (1730 – 1799) было показано, что растение может «очищать» воздух в присутствии света, а в темноте оно дышит, выделяя углекислый газ. Наибольшее значение в раскрытии механизма фотосинтеза, роли хлорофилла в этом процессе и наличия двух фаз – световой и темновой – имеют работы Х А. Тимирязева (1843 – 1920). Крупнейшим ученым в области физиологии и агрохимии был Д. Н. Прянишников (1865 – 1948). Широко известны работы по минеральному питанию растений Д. А. Сабинина (1889 – 1951).

Величайшим открытием было описание С. Г. Навашиным (1857 – 1930) двойного оплодотворения у покрытосеменных растений. И. Н. Горожанкин (1848 – 1904) разработал сравнительное онто-, филогенетическое направление в морфологии растений. Яркими представителями созданной им школы были Л. И. Курсанов (1877 – 1954), Л. М. Кречетович (1878 – 1956), К. И. Мейер (1881 – 1965).

Огромный авторитет приобрел академик, человек трагической судьбы Н. И. Вавилов (1887 – 1943), усилиями которого в Ленинграде (ныне Санкт-Петербурге) был создан Всероссийский НИИ растениеводства (ВИР), обладающий богатейшей коллекцией семян. Мировую известность как морфолог, систематик, филогенетик растений имеет наш современник, академик А. Л. Тахтаджян (р. 1910).

Дифференциация и интеграция (от лат. differentia — разность, различие, integratio — восстановление, восполнение) научного знания — два противоположных, но взаимосвязанных процесса развития научного знания. Дифференциация (Д.) — более глубокое и тщательное исследование отдельных явлений и процессов определенной области действительности на определенной стадии эволюции науки. Именно в результате такого исследования появляются отдельные научные дисциплины со своим предметом и специфическими методами познания.

После общего упадка естествознания в средние века ботаника начинает интенсивно развиваться с ХVI в. В XVIII–XIX вв. происходит интенсивная дифференциация ее на отдельные дисциплины, и к первой половине XX в. складывается комплекс наук о растениях.

Современная ботаника представляет собой сложную систему разнообразных наук, в которой проходят дальнейшее дробление и специализация. Эти тенденции развития ботанических наук полезны для систематизации и углубления наших знаний. Однако в ботанике, как в любой науке, наряду со специализацией идет и обратный процесс – интеграция (от лат. integer – целый), слияние, объединение наук. К таким интегрированным, или синтетическим (от греч. synthesis – соединение), наукам относится, например, репродуктивная биология растений, обобщающая сведения о процессах размножения растений, которая возникла в 70-х годах XX в. Синтетическими науками являются также упомянутые геносистематика, опирающаяся на данные биохимии, генетики и систематики; биоморфология, тесно связанная со структурной ботаникой, экологией и географией растений и т.д. Интеграция ботанических наук, способствующая обобщению результатов разных подразделений ботаники, дает толчок для формирования общебиологических представлений. На стыке наук появляются новые идеи и концепции, открываются новые возможности для практического использования результатов научных исследований. Как было уже отмечено, ботаника – составная более общей науки – биологии. Общая сфера приложения ботаники – не только растения суши, но и растения Мирового океана и атмосферы. Более того, в наше время сфера приложения этой науки выходит за рамки нашей планеты (астроботаника). Ботаника в свою очередь подразделяется на целую серию более частных и конкретных наук, каждая из которых изучает те или иные закономерности развития, строения и жизни растения или растительного покрова

Разделы ботаники. На протяжении длительной истории ботаники были накоплены знания не только о строении и особенностях жизнедеятельности растений, но и об их взаимоотношениях с другими организмами и их экологической роли, были разработаны новые технологии и методы исследований. В настоящее время ботаническая наука разделилась на ряд самостоятельных, но одновременно взаимосвязанных дисциплин.

В настоящее время ботаника представляет совокупность целого ряда взаимосвязанных разделов.

Морфология растений - изучает внешнее строение растений, исследует закономерности и обусловленность внешней формы растений.

Анатомия растений - исследует особенности закономерностей внутреннего строения растений.

Цитология растений - изучает строение клеток растений.

Гистохимия растений - с помощью микрохимических реакций выявляет и исследует вещества, находящиеся в растительной клетке.

Эмбриология растений - раздел ботаники, исследующий закономерности зарождения организма в первые этапы его развития.

Физиология растений - изучает жизнедеятельность растений: обмен веществ, рост, развитие и т.п.

Биохимия растений - исследует процессы химических превращений как химических соединений, входящих в состав самого организма, так и веществ, поступающих в него из окружающей среды.

Экология растений - изучает взаимоотношения растений и среды.

География растений - выявляет закономерности распределения растений в пространстве.

Геоботаника - изучает растительный покров Земли.

Систематика растений - занимается классификацией растений и их эволюционным развитием.

В качестве прикладных ботанических дисциплин выступают фармакогнозия, объектом исследования которой являются лекарственные растения, фитопатология, изучающая заболевания растений, агробиология, изучающая культурные растения и пр. Растения снабжают все остальные организмы, включая человека, энергией, кислородом и многими другими жизненно необходимыми веществами.

Появление отдельных направлений и дисциплин не привело к их полному обособлению. Напротив, все большую значимость приобретают совместные исследования, многие работы выполняются на стыке нескольких дисциплин. С этой точки зрения ботаника остается единой наукой, отдельные направления которой дополняют друг друга. В настоящее время на развитие ботаники влияют успехи генетики и молекулярной биологии, широко применяются математические, физические и химические методы исследований. Одновременно с развитием фундаментальных ботанических дисциплин развиваются ее прикладные отрасли: растениеводство, лесное хозяйство, фармакология и парфюмерная промышленность. Велика роль ботаники в увеличении продуктивности культурных растений, в решении мировой продовольственной проблемы. Возрастает экологизация ботаники: на первый план выходят такие проблемы, как рациональное использование растительного мира и сохранение его генофонда, защита растений от техногенных и других неблагоприятных факторов.

Значение ботаники в современном мире чрезвычайно велико, что в первую очередь определяется значением ее объекта – растений – в природе и жизни человека.

Значение растений в природе и жизни человека. Зеленые растения играют ведущую роль в современной биосфере. Для того чтобы согласиться с этим утверждением, достаточно вспомнить, что на долю зеленых растений приходится около 99% всей живой биомассы земного шара. Будучи автотрофами, растения выполняют роль продуцентов, создавая практически всю первичную продукцию биосферы. Именно их деятельность определяет возможность существования всего остального живого мира. Насыщение атмосферы кислородом, необходимым для дыхания большинству живых организмов, формирование за счет кислорода озонового слоя, защищающего Землю от избыточного ультрафиолетового излучения, – все это возможно благодаря деятельности растительных организмов. При непосредственном участии зеленых растений сформировалась почва, они же и охраняют почву от разрушения.

В процессе жизнедеятельности растения поглощают из почвы и испаряют в атмосферу огромное количество воды. Так, участок поля, который за сезон дает урожай массой в 2 т, потребляет около 200 т воды. При вырубании лесов вода, попадающая в почву, стекает по ее поверхности, смывая плодородный слой и усиливая эрозию. В экваториальных районах земного шара леса, задерживая и испаряя воду, значительно смягчают климат. Сокращение площади этих лесов может привести к изменению климата и засухам в прилегающих районах.

В зависимости от использования человеком растения раздела от на определенные группы. Растительный рацион человечества обеспечивают хлебные злаки, зернобобовые, овощи и плодовые растения. Широко используются человеком растения, дающие пряности, и масличные растения. Сахар получают из сахарной свеклы и сахарного тростника. Огромное значение в жизни человека имеет древесина, не только и качестве строительного материала, но и как сырье для целлюлозно-бумажной и химической промышленности. Из растений получают дубильные вещества и красители. Широко культивируются эфиромасличные и декоративные растения.

Задача ботаники – всестороннее познание растений: их строения, жизненных функций, распространения, происхождения, эволюции.

Глобальная проблема современности – производство пищи. Быстрый рост населения земного шара выдвигает задачу максимальной интенсификации сельскохозяйственного производства: повышения урожайности возделываемых культур и продуктивности животноводства.

Эту задачу решают технологические науки: растениеводство и животноводство, базирующиеся на достижениях фундаментальных биологических дисциплин, среди которых первое место занимает ботаника. Не менее важна роль растений в обеспечении человека древесиной, прядильным волокном, лекарственным сырьем и др.

Ботаника тесно связана с разнообразными сторонами жизни и хозяйственной деятельности человека: сельским хозяйством, медициной и различными отраслями промышленности.

Растения широко используются человеком как пища и корм для животных, как источник сырья для хозяйственной деятельности (прядильные, красильные, дубильные и др.), как ценнейшие лекарственные средства.

Одна из первоочередных задач ботаники – разработка научных основ охраны природных и растительных ресурсов.

Особенно большое внимание отводят изучению и охране редких и исчезающих растений, занесенных в Красную книгу, так как потеря каждого вида не только уменьшает разнообразие растений, но и нарушает устой­чивость растительного сообщества, сбалансированного в течение многих тысячелетий.