Элементы вариационного исчисления
Пример 1 (задача о брахистохроне) Исторически первой задачей о вариационном исчислении была задача о брахистохроне, поставленная И.Бернулли: среди всех кривых, соединяющих две данные точки плоскости, найти ту, двигаясь по которой под действием силы тяжести, материальная точка попадает из начальной точки в конечную за кротчайшее время (рис. 1). Кривая, вдоль которой тело, скорее всего скатывается из начальной точки в конечную, называется брахистохроной. Рис. 1.
Построим математическую модель задачи. Введем систему координат, начало которой совместим с точкой . Представим искомую кривую уравнением , . Применим закон сохранения энергии, трением и сопротивлением среды пренебрегаем , где – масса тела, – ускорение свободного падения, – величина скорости. Если , где, – путь, пройденный телом, то , – время движения. Тогда .
Полное время движения из точки в точку выражается интегралом . Искомая кривая должна удовлетворять условию и условиям , . Определение. Переменная величина называется функционалом, зависящим от функций , принадлежащих некоторому классу функций , если каждой функции , согласно некоторому правилу, соответствует единственное число, которое записывается . Таким образом, функционал – это отображение . Класс функций , на котором определен функционал называется областью определения функционала и обозначается , а множество называется множеством значений функционала .
Пример 2 (цепная линия) Найдём форму, какую принимает тонкая гибкая однородная нить (цепь) длины под действием силы тяжести. Рис. 2.
Пусть система выбрана так, что ось горизонтальна, ось направлена вертикально вверх, а координаты точек подвеса суть и (рис.2). Пусть далее, задаёт линию, занимаемую цепью. Из механики известно, что получающаяся форма цепи соответствует экстремуму её потенциальной энергии , где – плотность материала цепи, – ускорение свободного падения. Искомая форма цепи должна удовлетворять условию , краевым условиям , , и условию, определяющему длины цепи .
Приведенные примеры относятся к задаче на минимум функционала вида , который часто встречается в практических приложениях. Вариационное исчисление занимается условиями существования экстремума и методами их нахождения.
Обозначим через некоторую фиксированную функцию из области определения функционала . Разность , называют вариацией аргумента функционала . Вариация функции является функцией . Эту функцию можно дифференцировать несколько раз, причем, нетрудно видеть что . Приращением функционала, отвечающим приращению аргумента , называется величина , где , , . Если может быть представлено в виде , где – линейный (и, стало быть, ограниченный) функционал относительно , а функционал при норме , то L называют вариацией функционала и обозначают . Для нормой можно взять .
Формально, существование вариации функционала связывают с условием его дифференцируемости . Пример. Найдем вариацию функционала . Имеем . Тогда , и, следовательно .
Для функционала найдем первую вариацию. , или .
Теорема. Если функционал , определенный на имеющий вариацию, достигает экстремума на функции , то .
Рассмотрим функционал , с заданными граничными условиями: , . Предположим, данный функционал достигает экстремум в точке . Тогда, согласно необходимому условию существования экстремума . В найденной вариации проинтегрируем второе слагаемое по частям: . С учетом условий и , имеем , и получаем . Согласно необходимому условию существования экстремума . В этом выражении вариация является произвольной непрерывной функцией на , так что получаем . Полученное дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера для функционала . Таким образом, условие существования экстремума функционала при условиях , приводит к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же условиях , . Любое решение задачи ,
называется экстремалью.
Если в уравнении раскрыть производную, то получим краевую задачу . .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (456)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |