Метод конечных разностей
Самым распространенным численными методом решения краевых задач для ДУ является метод конечных разностей. Рассмотрим краевую задачу (1) (2) или в операторной форме , где , .
Здесь – заданные числа, – заданные функции. При этом, исходные данные задачи должны быть такие, чтобы задача имела единственное решение – функцию непрерывную и дважды дифференцируемую на (рис. 1). Первый шаг алгоритма МКР состоит в том, что отрезок разбивается точками (рис. 6) с координатами , . Совокупность точек называется сеткой, сами точки – узлами, параметр называется шагом по сетке. Точки называют граничными узлами, а точки – внутренними узлами сетки. Будем искать не решение исходной задачи (1) – (2), а таблицу значений этого решения в узлах сетки. Такая функция называется сеточной. Значения искомой сеточной функции в узлах будем обозначать . Рис. 1. Дискретная модель задачи
При переходе от непрерывного описания задачи к дискретному исходное уравнение (1) мы должны заменить системой уравнений, записанных к каждой точке введенной сетки. Но сначала надо решить вопрос о вычислении производных первого и второго порядка сеточной функции. Следующий шаг алгоритма МКР – замена дифференциальных операторов конечно-разностными соотношениями. Рассмотрим функцию одной переменной и выведем для неё формулы численного дифференцирования. Согласно определению производная функции в точке есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю . Пусть имеется табличная функция (таблица значений функции ) с шагом
В этом случае производную в узле таблицы можно приближенно можно найти по формуле . Это соотношение называется аппроксимацией (приближением) производной с помощью отношения конечных разностей и . В зависимости от способа вычисления конечных разностей получают разные формулы для вычисления первой производной табличной функции. Предположим, что шаг таблицы (разность между соседними значениями аргументов) постоянный и равен . Запишем формулы вычисления первой производной в узле : с помощью правых конечных разностей , :
с помощью левых конечных разностей , :
Из этих формул можно получить формулу вычисления производной с помощью центральных разностей , :
Используя аппроксимации первой производной, можно получить приближение старших производных. Например . Полученные формулы вычисления производных являются приближенными, так что имеет смысл рассмотреть величину , которая характеризует отклонение приближенного значения производной от её истинного значения и называется погрешность аппроксимации производной -го порядка. Если функция задана таблицей с шагом , погрешность аппроксимации зависит от , и её записывают в виде (О большое от ). Показатель степени называется порядком погрешности аппроксимации или порядком точности аппроксимации (при этом предполагается, что ). Замечание. (о символе "О – большое"). Говорят, что функция приближает функцию с порядком , и записывают , если что существует константа и положительное число , такие что . Приведенные формулы численного дифференцирования имеют следующую точность: . . . (*) . (**)
Вернемся к задаче (1) – (2).
Запишем уравнение (1) для каждого внутреннего узла введенной сетки, используя формулы для аппроксимации производных центральными конечными разностями (*) и (**), а также обозначая , , в узлах сетки. В результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестных функций в узлах . Добавляем к этой системе условия в граничных узлах , . После преобразования система примет вид: (3) где , , , , . Система метода конечных разностей (3) называется разностной схемой задачи (1) – (2). Третий шаг алгоритма МКР – решение СЛАУ (3). Представим систему (3) в матричной форме . (4) Решение задачи (4) – вектор размерностью . При этом возникает вопрос: является ли полученный вектор приближением к решению исходной задачи и если это так, то какова степень точности этого приближения. Таким образом, возникает задача анализа сходимости численного метода как критерия точности вычислительного процесса. Разностная схема сходиться к решению исходной задачи , если имеет место сходимость по норме , где – норма сеточной функции, а – вектор узловых значений точного решения. Если, сверх того выполнено неравенство , где – некоторые постоянные, то говорят, что имеет место сходимость порядка относительно . В частном случае метод конечных разностей сходится к решению краевой задачи (1) – (2), если в дифференциальном уравнении для всех , а в определяющем разностном уравнении .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (291)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |