Продольная деформация прямолинейного стержня
Рассмотрим задачу о растяжении-сжатии прямого стержня, произвольного поперечного сечения (в общем случае переменного по длине). Совместим ось с осью симметрии стержня. Начало координат поместим в один из концов стержня, вся длина которого равна . Пусть – функция, показывающая изменение площади поперечного сечения стержня, – модуль упругости материала, который предполагается однородным и изотропным. Пусть на стержень по всей длине в направлении действует сплошная нагрузка, интенсивностью (одинаковая в каждой точке поперечного сечения).
Под действием этой нагрузки стержень растягивается или сжимается. Предположим, что все сечения, нормальные к оси стержня в его недеформированном состоянии, остаются плоскими (не искажаются) и сохраняют свою перпендикулярность к оси в процессе растяжения-сжатия (гипотеза плоских сечений). В этом случае можно приближенно считать, что точки поперечного сечения, находящегося на расстоянии от начала координат, получат одинаковое перемещение . Сечение, находящееся на расстоянии , получит перемещение . Координата выбрана произвольно, так что имеем функцию продольных перемещений точек оси стержня. Тогда относительное удлинение элемента будет равно – геометрическое уравнение. Также из гипотезы плоских сечений следует, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения , одинаковые во всех точках сечения. Равнодействующая этих напряжений равна , где – площадь поперечного сечения с координатой . Нормальные напряжения связаны с продольными деформациями физическим соотношением (закон Гука) (или )
Уравнение равновесия можно составить, рассматривая элементарный отрезок стержня , находящийся под действием внешней нагрузки и внутренних усилий: – слева и – справа.
Проектируя эти силы на ось , получим или . Будем считать, что продольные деформации стержня стеснены упругим основанием с коэффициентом . (Это значит, что существует упругая среда, обладающая тем свойством, что возникающие с её стороны реакции пропорциональны перемещениям и равны ). Тогда, уравнение равновесия будет иметь вид (1) – уравнение равновесия.
Для того чтобы задача была поставлена корректно, надо к данному уравнению добавить граничные условия. В данной одномерной задаче область, занимаемая упругим телом – отрезок прямой , а граница области состоит из двух точек и . Направляющие косинусы внешней нормали в этих точках равны и . Можно рассматривать граничные условия двух видов. Если на соответствующих концах стержня заданы сосредоточенные силовые воздействия и , то имеем статические краевые условия. Если в точках и заданы перемещения и , то имеем кинематические граничные условия.
Параметры и задаются на каждом конце стержня и принимают значения 0 или 1, в зависимости от решаемой задачи, причем . Смысл этих параметров определяется индексом, так, например, , если на соответствующем конце задана внешняя сосредоточенная сила , тогда как, перемещение там не фиксируется. Например, для стержня, у которого один конец закреплен, другой свободен, будем иметь , . Математическая модель (1), (2) называется краевой задачей для перемещений.
Существует и другая математическая модель описывающая ту же задачу. Найдем полную потенциальную энергию данной механической системы , где – потенциальна энергия деформации при растяжении-сжатии, – работа внешних сил. В данном случае , Работа сил упругого основания равна . Работа, которую производит заданная распределенная нагрузка и заданные сосредоточенные на концах силы равна . Таким образом, функционал полной потенциальной энергии (функционал Лагранжа) для данной задачи принимает вид . (3) Таким образом, математическая модель для решения той же задачи определения смещений в стержне, находящемся под действием продольно распределенных сил, может быть сведена к нахождению минимума функционала полной потенциальной энергии (3), с учетом краевых условий (2). Такая задача называется вариационной.
Найдем связь между вариационной и краевой задачами. Вычислим первую вариацию функционала, и приравняет её к нулю. . Применим к первому интегралу формулу интегрирования по частям: . Таким образом, получаем . Функционал Лагранжа определен на кинематически допустимых перемещениях, следовательно, допустимая к рассмотрению вариация отлична от нуля на конце стержня, если на этом конце и , тогда . Используя основную лемму вариационного исчисления, из условия получаем уравнение Эйлера для этого функционала (уравнение равновесия) и естественные краевые условия: , т.к. . (статические краевые условия).
Рассмотрим частный случай внешней нагрузки и однородных граничных условий. Пусть – вес тела, а коэффициент упругого основания не зависит от x, т.е. ( – удельный вес материала – ускорение свободного падения), . Пример 1. Бетонный стержень конической формы заделан нижним концом и испытывает воздействие собственного веса. Высота стержня равна 3 м, радиус нижнего основания 0,5 м, верхнего основания 0,25 м. . Данные: , , , (плотный грунт), , , . Определить перемещения и внутренние усилия. Рассмотреть два метода: 1) метод Ритца; 2) метод конечных элементов.
Математическая модель задачи имеет вид , , . 1) Метод Ритца Перейдем в функционале полной потенциальной энергии и граничных условиях к безразмерным величинам по формулам . Тогда, , , , , . Здесь , – площадь поперечного сечения при .
Таким образом, получаем задачу о минимуме функционала , с граничными условиями , .
Решение ищем в виде, где в качестве базисных функций выбираем систему функций . Решение задачи (без учета упругого основания)
2) Метод конечных элементов. Математическая модель задачи: , .
Система метода конечных элементов будет иметь вид: , где , , , , , , , .
Пример 2. Рассчитать ступенчатый брус с исходными данными, приведенными на рисунке. Математическая модель задачи: , Система метода конечных элементов для пяти элементов будет иметь вид: где , , , ,
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (450)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |