БИЛЕТ 27. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Плотность распределения

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина xпринимает значение, меньшее x.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F(x) определена на всей числовой прямой R;

· F(x) не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

· F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

БИЛЕТ 28. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Относительно пределов интегрирования - то же самое.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).

Коэффициент вариации непрерывной случайной величины вычисляется по той же формуле, что и для дискретной с.в.:
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: