БИЛЕТ 6. Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши
БИЛЕТ 1. Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображения. Свойства преобразования Лапласа: линейность, подобие, смещение, запаздывание. Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). Функция f(t) называется оригиналом, если выполняются 3 свойства: 1) функция тождественна 0 при t<0 2) f(t) кусочно непрерывна при t≥0 3) |f(t)|≤M*eσt, где М и σ- числа Поэтому основные элементарные функции можно считать оригиналами, если считать, что при t<0 они обращаются в 0. Изображением оригинала f(t) по Лапласу называется функция F(p)=инт от 0 до +беск f(t)*e-ptdt, где з-любое комплексное число 1. Свойство линейности: L(f1(t)+f2(t))=F1(p)+F2(p) L*C*f(t)=C*F(p), где L-оператор Лапласа 2. Свойство подобия: f(αt)ß1\α*F(p\α) 3. Теорема смещения: eαt*f(t)ßF(p-α) 4. Свойство запаздывания: f(t-α)ße-pαF(p) БИЛЕТ 2. Свойства преобразования Лапласа: дифференцирование оригинала, дифференцирование изображения, интегрирование оригинала, интегрирование изображения. Дифференцирование оригинала: f(t)ßp*F(p)-f(0) f’’(t)ßp2*F(p)-p*f(0)-f’(0) f’’’(t)ßp3F(p)-p2*f(0)-βf’(o)-f’(0) Дифф-е изображения: t*f(t)ß-1F’(p) tnf(t)ß(-1)nFn(p) Интегрирование оригинала: F(p)\pàинт. от 0 до t f(t)dt Интегрирование изображения: f(t)\tßинт. от 0 до +беск F(p)dp БИЛЕТ 3. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем. y’’+a1y’+a2y=f(x). Уравнение принимает вид: x’’(t)+a1x’(t)+a2x(t)=f(t). Изображаем по Лапласу обе части уравнения, для этого обозначим: x(t)ßX(p) x’(t)ßpX(p)-x(0) x’’(t)ßp2X(p)-px(0)-x’(0) f(t)ßF(p). Подставляем, преобразовываем. По полученному изображению X(p) восстанавливаем оригинал x(t). Для решения систем: 1) с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. 2) Подставим найденные изображения в исходное уравнение 3) Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует X(p) или Y(p) В правые части уравнений собрать все остальные слагаемые. 4) Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки. Полученную систему решают по формулам Крамера. Вычисляют главный определитель системы. 5) По формулам Крамера вычисляют еще два определителя, для x и для y. Корни находят, разделив найденные определители на главный. В итоге получают операторное решение системы. 6) Используя таблицу, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам 7) Подставим полученные изображения в операторное решение системы. БИЛЕТ 4. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Пусть а1, а2…аn числовая последовательность. Сумма a1+a2+…+an называется числовым рядом, и обозначается ∑an=a1+a2+…+an Сумму первых n членов ряда называется частичной суммой и обозначается Sn Если последовательность частичных сумм Sn имеет конечный предел S, при nàбеск., то ряд назыввют сходящимся и его сумма равна S. Ели предел частичной суммы не существует или бесконечен, то ряд называю расходящимся. Свойства сходящихся рядов: 1. Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю. 2. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна сумме первого + сумма второго. Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать.
БИЛЕТ 5. Необходимый признак сходимости. Пример. Гармонический ряд. Необходимый признак: Если ряд ∑an сходится, то его общий член anà0. Обратное неверно. Примером такого рода является гармонический ряд ∑1/n. an=1/nà0, но ряд-расходящийся. Следствие: если общий член ряда не стремится к 0, то ряд расходится. БИЛЕТ 6. Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. 1. Признак сравнения. Пусть ряды ∑an и ∑bn знакоположительные и для всех n из множества натуральных чисел выполняется неравенство an≤bn. Тогда если ряд ∑an расходится, то и второй тоже. Если ∑bn сходится то и второй сходится. 2. Предельный признак сравнения: Пусть ряды ∑an и ∑bn знакоположительные. Если число С=lim an/bn принадл. (0,+беск), то ряды сходятся или расходятся одновременно. 3. Признак Коши: Пусть ряд ∑an знакоположительный. Если число К=lim корень n-ой степени от an<1,,, то ряд сходится Если К>1, то ряд расходится Если К=1, то о сходимости-расходимости ничего сказать нельзя. 4. Признак Даламбера: Пусть ∑an знакоположительный, если число D=lim an+1/an<1, ряд сходится D>1. расходится D=1, то ничего нельзя сказать
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (432)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |