Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным

Учитель математики высшей категории

Цапиева Тамара Васильевна

Город Удомля Тверской области

 

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Удомельская средняя общеобразовательная школа № 5

С углубленным изучением отдельных предметов»

E-mail: eljvkz88@ mail.ru

Телефон: 89201618411

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

(методическое пособие для учащихся 7-9 класс)

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

· Пояснительная записка.

· .Уравнения с параметром, сводящие к линейным.

· .Квадратные уравнения с параметром.

· Применение теоремы Виета и исследование расположения

· корней квадратного уравнения относительно нуля.

· Расположения корней квадратной функции относительно

· заданных точек.

· Решение биквадратных уравнений с параметром.

· Уравнения с параметром, содержащие модуль.

 

 

Пояснительная записка.

 

Решение уравнений с параметрами можно считать деятельно­стью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Без сомнения, задачи с параметрами дают развивающий эффект, научный подход к решению задач. И в то же время наша программа не включает в себя этот важный раздел. С этим противоречием я и столкнулась, так как в наших школьных учебниках не содержится теоретического материала о решении заданий с параметрами, всего несколько упражнений, которые идут со звездочкой и не даются систематически. То есть, возникает противоречие между необходимостью увеличить объем информации, включаемый в общеобразовательную программу и возможностью ее усвоения каждым учеником.

Предложенное методическое пособие может быть использовано на уроках математики в 7 - 9 классах.

 

 

Решение уравнений с параметром.

 

В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Обычно в уравнении буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение– значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения кроме букв, обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.

.. Многие учащиеся слабо владеют методами их решения, часто воспринимают параметр как величину известную и проводят соответствующие выкладки без должного анализа различных ситуаций, диктуемых параметром. Отсюда неверные выводы, порою даже парадоксальные. Чтобы избежать этого, необходимо тщательно продумывать каждый шаг решения задачи с параметром, логически обосновывать любое преобразование, в котором участвует параметр.

 

Если в уравнении , кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а такое уравнение – параметрическим. Решить уравнение, содержащее параметр-это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения.

 

 

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.

 

Рассмотрим уравнение

(1)

где - неизвестная величина, и - параметры уравнения. Достаточно очевиден следующий результат.

Теорема. Если , то уравнение (1) при любом имеет единственное решение если и то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений (именно любое является решением уравнения (1); если и то уравнение (1) не имеет решений (т.е. ).

 

1). Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение

 

Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения параметра Уравнение равносильно такому уравнению:

(2)

 

Используя теорему 1, получаем

 

а) если то уравнение (2) равносильно уравнению

⟺

б) если то уравнение (3) равносильно уравнению

⟺

в) если и то из (3) следует, что

.

Ответ. Если то

если то если то

 

2.) Решить уравнение :

Решение. Если не учитывать теории линейных уравнений, то в лучшем случае можно получить ответ , являющийся ошибочным, так как не учтены различные ситуации, связанные с параметром.

Правильный же результат запишется так:

Если то если то

Ответ. Если то если то

 

3).Решить уравнение:

Решение. Если не принять во внимание, что в данном уравнении параметр может принимать любые значения (в том числе и обращаться в нуль), то можно получит результат который является исчерпывающим лишь при . Если же то уравнение приводится к виду решением которого является любое число

Ответ. Если то если , то

 

 

4).Решить и исследовать в зависимости от параметра уравнение:

Решение:

возможны три случая:

а) если , т о уравнение имеет единственное решение

;

б) если , то , а тогда решений нет;

в) то и уравнение имеет бесконечное множество решений .

 

Ответ: при

при , решения нет;

при .

 

5). Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение

и указать все значения параметра, при которых корни уравнения больше

Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения параметра При каждом значении параметра уравнение равносильно системе

 

⟺ (3)

 

Решим сначала уравнении системы (3); оно линейно и по теореме 1 имеем:

а) если то указанное уравнение равносильно такому уравнению:

⟺ ;

б) если то .

Найдем теперь те значения параметра при которых найденное решение уравнения удовлетворяет неравенствам из (3).

8∙

⟺ ⟺ ⟺

 

Итак, если то данное уравнение имеет единственный корень

если же или то данное уравнение корней не имеет .

Найдем теперь те значения параметра при которых найденный корень превосходит . Имеем

⟺ ⟺

 

⟺

Ответ. Если то

если или то

Если то корень больше

6).Решить уравнение.

Решение.

Обозначим , где получим уравнение

Подставим , получим ,

Откуда

то есть

.

Возможны два случая:

а) если т.е. , то решения нет;

в) если т.е. , то ,

значит последнее уравнение имеет бесконечное множество решений .

Однако надо проверить, что следовательно, исходное уравнение имеет решение .

 

Ответ: при , решений нет

при , то

 

7).Решить уравнение.

Решение:

Уравнение равносильно системе:

 

 

Последнее уравнение перепишем в виде ;

При получаем нет корней.

При получаем единственное решение.

Однако надо проверить, что

 

 

Ответ: при нет решения;

при .

 

8).Решить уравнение. ОДЗ:

Решение:

Упростим уравнение.

,

,

,

,

Последнее уравнение является линейным относительно х, и оно равносильно исходному в ОДЗ заданного уравнения.

1) При уравнение имеет единственное решение

.

Полученное решение входит в ОДЗ, если

Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение

при .

2) при линейное уравнение примет вид и, значит, имеет бесконечное множество решений ,

3) при уравнение очевидно решений не имеет.

Ответ: при

при ,

при решений нет.

 

9).При каком значении а уравнение имеет единственное решение

ОДЗ

 

Решение:

Упростим уравнение:

 

Последнее уравнение является линейным относительно х , и оно равносильно исходному в ОДЗ заданного уравнения.

При уравнение имеет единственное решение

Полученное решение входит в ОДЗ, если

ОДЗ

Ответ: при

Задачи для самостоятельного решения:

1). Найти значения параметра m , при которых уравнение

а) имеет единственное решение,

б) не имеет решений,

в) имеет бесконечное множество решений.

 

Ответ:

a)

б)

в) .

 

 

2) При каких значениях параметра а уравнение

 

имеет единственное решение

Ответ .

 

3). При каких значениях параметра а уравнение

 

имеет единственное решение

Ответ

 

4). При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение

Ответ: .