Устойчивость стержней с различными концевыми условиями их закрепления
Рассмотрим однопролетный у стержень постоянного поперечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси недеформированного стержня. Помещая начало системы декартовых координат хуz в центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по продольной недеформированной оси стержня, а ось у — по направлению наименьшей жесткости поперечного сечения. С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (критическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформированного стержня и поворачиваться вокруг оси х (рис. 2.10.3). Рисунок 2.10.3. Дважды дифференцируя каждый член уравнения (2.10.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее деформированное состояние рассматриваемого стержня в общем виде: (2.10.7) Общее решение которого имеет вид: (2.10.8) Составляя первые три производные от функции прогиба, составим выражение для углов поворота; изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в произвольном сечении, расположенном на расстоянии от начала принятой системы координат: (2.10.9) Произвольные постоянные С1, С2, С3, и С4 определяются из граничных условий закрепления стержня. Очевидно, что произвольные постоянные в первоначальном, т.е. докритическом равновесном состоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тождественно приравнивают нулю, так как в первоначальном равновесном состоянии (1) (см рис. 2.10.3) имеем: В новом равновесном (критическом) состоянии необходимо учесть, что независимо от граничных условий закрепления стержня произвольные постоянные С1, С2, С3, и С4 одновременно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является необходимым и достаточным условием для определения нового равновесного состояния системы соответственно величинам критических значений внешних продольных сил Р. Решим задачу по определению критической величины силы Р для стержней с различными концевыми условиями закрепления (рис. 2.10.4.).
Рисунок 2.10.4. В случае, когда стержень с двумя концами шарнирно-оперт (рис. 2.10.4, а), граничные условия задачи имеют вид: у(0) = у (l)= 0; МХ (0)= МХ (l)= 0. Подставляя выражения прогиба и изгибающего момента соответственно из (2.10.8) и (2.10.9) в граничные условия задачи, получим С1 +С4 =0; ; ; . Однако из третьего уравнения, а затем из первого уравнения последней системы легко установить, что в данном случае С4 =0, С1 =0, следовательно, алгебраическая система относительно неизвестных произвольных постоянных принимает вид: Так как С2 и С3 не могут быть равными нулю в новом — критическом равновесном состоянии стержня, поэтому необходимо требовать, чтобы определитель последней системы однородных уравнений был равен нулю, т.е.: или Откуда следует, что sinkl= 0. Из решения последнего уравнения получим (n=1,2,3,…) С учетом (2.10.2), при п = I, выражение наинизшего значения критической силы Ркр окончательно определяется: Последнее выражение, как нетрудно заметить, полностью совпадает с результатом решения задачи Эйлера. Для стержня, изображенного на рис. 9.2.4 6, граничные условия задачи имеют вид: у(l) = у1 (l)= 0; МХ (0)= 0; МХ (l)= Ру0 =EJxk2y0 Подставляя выражения прогибов, углы поворотов и изгибающих моментов в граничные условия задачи, получим: ; ; ; . Из третьего уравнения следует, что С4=0. С учетом данного обстоятельства последняя система уравнений окончательно записывается в виде: ; ; .
Откуда имеем: Раскрывая определитель и после некоторых преобразований получим coskl=0.Наименьший корень данного уравнения является . Выражение наинизшего значения критической силы Ркр окончательно определяется: Аналогично получаем наинизшее значение критической силы Ркр для стержня на рис. 2.10.4,в: . И для стержня на рис. 2.10.4,г: .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (686)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |