Методический инструментарий оценки стоимости денег во времени

 

Рассмотрим базовые понятия, определение которых составляет сущность большинства финансовых расчетов.

Процент - это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов, или же это цена уплачиваемая за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте ее также часто используют в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение суммы начисленного дохода к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы (десятичной дроби) либо в процентах.

Будущая стоимость денег - сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом условий вложения (определенной процентной ставки). Также это стоимость с начисленными процентами.

Настоящая стоимость денег - сегодняшняя оценка будущих денежных поступлений, дисконтированных по определенной процентной ставке.

Наращение стоимости - арифметический процесс определения конечной суммы денег в определенном периоде, полученных путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

Дисконтирование стоимости - процесс отыскания текущей (настоящей) стоимости денег, которые поступят в будущем путем изъятия из их будущей стоимости соответствующей суммы процентов (называемой «дисконтом»). Дисконтирование противоположно наращению стоимости.

Период начисления - общий период времени в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Предварительный метод начисления процентов (антисипативный метод) - способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

Последующий метод начисления процентов (декурсивный метод) - способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

В практике финансовых вычислений используются различные виды процентных ставок.

По базе начисления процентов начисляют:

простые процентные ставки - процентные ставки, применяемые к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления;

сложные процентные ставки - процентные ставки, применяемые к последовательно изменяющейся базе для расчета. За базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, иначе говоря, проценты начисляются на проценты.

По методу начисления процентов:

декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудный процент, ставка наращения - выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления;

антисипативная процентная ставка, иначе говоря, учетная ставка - выраженное в процентах отношение суммы дохода к величине наращенной суммы, полученной по прошествии интервала начисления. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления.

 

Таблица 8 - Алгоритм оценки стоимости денег с учетом фактора времени

 

Декурсивный метод	Антисипативный метод
Для случая простых процентных ставок
Для случая сложных процентных ставок

 

Условные обозначения
I -	общая сумма процентных денег, выплачиваемая по ставке ссудного процента за весь период начисления
i -	относительная величина простой годовой ставки ссудного процента
ic -	относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов
j -	номинальная ставка сложных ссудных процентов
iэ -	эффективная ставка сложных процентов
D -	общая сумма процентных денег, выплачиваемая по учетной ставке за весь период начисления
d -	относительная величина простой учетной ставки
dc -	относительная величина сложной годовой учетной ставки
f -	номинальная годовая учетная ставка
dэ -	эффективная учетная ставка
P -	величина первоначальной (вкладываемой) денежной суммы
S - n -	наращенная сумма количество периодов начисления в годах
¶ -	продолжительность периода начисления в днях
K -	продолжительность года в днях
m -	количество интервалов начисления в году
mn -	общее (целое) число интервалов начисления за весь срок
l -	дробная часть года
(1+ni) -	множитель наращения суммы простых процентов
(1+ic)n -	множитель наращения суммы сложных процентов (иногда называют коэффициентом капитализации)
1/(1+i) -	дисконтный множитель суммы простых процентов
1/(1+ic)n -	множитель дисконтирования суммы сложных процентов

 

Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным наборам исходных данных.

 

Пример.

Вы собираетесь положить деньги на сберегательный счет. Сколько денег Вы получите через год? Необходимо определить сумму простого процента за год при следующих условиях:

первоначальная сумма вклада - 1000 усл. ден. ед.;

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально - 20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму процента:

 

I =Р×m×n×i = 1000´ 4´1´0,2 = 800 усл. ден. ед.;

будущая стоимость вклада в этом случае составит:

S = 1000 + 800 = 1800 усл. ден. ед.

 

 

Пример.

Выдана ссуда в размере 500 тыс. руб. на один месяц (30 дней) под 60 % годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:

 

 

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывают либо точный, либо обыкновенный процент. Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды. При расчете обыкновенного процента продолжительность месяца принимается равной 30 дням, а продолжительность года равна 360.

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Тогда множитель наращения определяется с учетом их переменных значений.

 

Пример.

Кредит в размере 2 млн. руб. выдается на 2,5 года. Ставка процента за первый год - 60%, а за каждое последующее полугодие она увеличивается на 10%. Определить множитель (коэффициент) наращения.

 

Пример.

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 200 тыс. руб. удвоится, если используется простая ставка процента 40%.

 

 

Пример.

Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 50%. Рассчитаем сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 2 млн. руб.

 

 

Пример.

Рассчитаем учетную ставку, которая обеспечивает получение 6.000.000 руб., если сумма в 10.000.000 руб. выдается в ссуду на полгода.

 

 

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты наиболее распространены в различных финансовых расчетах.

 

Пример.

Вы выбрали 2-летнюю схему инвестирования, которая приносит 20% в год. Если вы вкладываете 10.000 руб., то сколько вы будете иметь в конце 2 лет? Чему равны сложные и простые проценты?

По схеме простых процентов наращенная сумма составит:

 

 

По схеме сложных процентов:

 

 

Будущая стоимость в основном зависит от выбранной процентной ставки. Но по прошествии короткого времени эффект капитализации невелик, по-настоящему он начинает проявляться при долгосрочных инвестициях. Например, если инвестировать 5 рублей под 6% годовых на 200 лет, то множитель наращения очень большой (1,06)²⁰⁰ = 115125,91, так что наращенная сумма составит 575.629,53 руб.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентовj - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равнойj/m.

 

Пример.

Первоначально вложенная сумма равна 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процента в размере 80% годовых для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям и ежеквартально.

Будущая стоимость вклада составит при начислении процентов по полугодиям:

 

 

для квартального начисления:

 

 

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители наращения и множители дисконтированиясуммы сложных процентов могут быть рассчитаны тремя способами:

1. С помощью обычного калькулятора: умножив (1+i) само на себя n раз или задействовав экспоненциальную функцию.

2. С использованием финансового калькулятора, который запрограммирован на решение всевозможных финансовых задач.

3. С использованием специальных таблиц финансовых вычислений, с помощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платежных интервалов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным процентам (см. таблицы 9, 10). Чтобы использовать эти таблицы, необходимо обратиться к соответствующей таблице процентов, найти столбец, соответствующий i%, и строчку равную n или (m×n). На их пересечении будет искомый множитель.

При начислении процентов за дробное число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

 

Пример.

Первоначальная стоимость вклада равна 300 тыс. руб. Определить возвращаемую сумму через 2,5 года при использовании ставки сложных процентов 40% годовых.

Будущая стоимость вклада составит:

 

 

 

Пример.

Какова должна быть сложная става ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 2 года? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

 

В финансовых операциях применяются различные режимы начисления процентов в зависимости от вида капиталовложений. Банк обычно рассчитывает процент ежемесячно или ежеквартально; по большинству видов ценных бумаг процент начисляется раз в полгода; процент по акциям выплачивается раз в квартал, а по большинству займов процент начисляется раз в год.

Таким образом, если нам надо сравнить доходность финансовых операций с разными периодами начисления процента, нужно привести их к одному основанию. Иными словами, необходимо различать номинальную (или объявленную) ставку процента и эффективную (или реальную) ставку годового процента. При инвестировании или получении кредита во избежание недоразумений необходимо оценивать именно эффективную ставку.

Эффективная годовая ставка процента - это та самая ставка процента, которая и составит конечную, возросшую сумму при годовом начислении процента в отличие от режима начисления m раз в году. Это то, что вы в действительности получаете или платите.

В общем виде мы можем вычислить эффективную ставку сложных процентов, решив следующее уравнение:

 

 

Номинальная ставка определяется путем умножения процентной ставки, взимаемой за каждый интервал начисления, на число этих интервалов в году.

 

Пример.

Вы нашли три банка с разными ставками:

Банк А: 15%, начисляются ежемесячно.

Банк Б: 15,5%, начисляются ежеквартально.

Банк В: 16%, начисляются ежегодно.

Если вы планируете открыть сберегательный счет, то какая из процентных ставок лучше? Какая из них лучше, если они предоставляют проценты по ссуде?

Рассчитаем эффективную процентную ставку:

Банк А:

Банк Б:

Банк В:

Следовательно, для сбережений лучшие условия предлагаются банком Б, а для заимствования - банком А.

 

Часто необходимо знать, какую денежную сумму P нужно вложить под фиксированные сложные проценты сегодня, чтобы получить в определенный момент в будущем заданную сумму S.

 

Пример.

Найти текущее значение долга, полная сумма которого через три года составит 70 тыс. руб. Проценты начисляются:

а) по ставке 15% в конце каждого года;

б) по ставке 2% в конце каждого квартала;

в) по ставке 12% годовых в конце каждого месяца.

Текущее значение долга определим по формуле:

 

 

Это основное уравнение приведения стоимости, лежит в основе инвестиционных решений.

 

 

Пример.

Страховая компания предлагает вам выплату 12000руб. по истечении 5 лет. Стоимость страхового полиса - 4000 руб. какова доходность этой операции?

Рассчитаем ставку сложных судных процентов: