Полиномиальные функции
I. Введение. 3 II. Элементарные функции. 4 Элементарные функции по Лиувиллю.. 4 Многочлен.. 5 Полиномиальные функции. 6 Рациональная функция. 7 Степенная функция. 7 Показательная функция. 8 Логарифм.. 10 Тригонометрические функции. 11 Обратные тригонометрические функции.. 14 III. Заключение. 21 IV. Список литературы. 21
I. Введение. Термин «функция» появился в одной работе Лейбница в 1692г., а затем применялся братьями Якобом и Иоганном Бернулли для характеристики различных отрезков, так или иначе связанных с точками некоторой кривой. В 1718г. Иоганн Бернулли впервые даёт определение функции, свободное от геометрических представлений. Его ученик Эйлер в своём учебнике « Введение в анализ бесконечно малых» воспроизводит определение Бернулли, несколько его уточняя: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и из чисел или постоянных количеств». В течение ряда десятилетий существенного прогресса в определении понятия функции не было. Обычно приписывают Дирихле заслугу выдвижения на первый план идеи соответствия, которая лежит в основе этого понятия. Задачи: Ø Узнать, какие функции можно получить из основных элементарных функций; Ø Узнать, какими свойствами обладают основные элементарные функции. Цель: ü Расширение кругозора своих знаний об основных элементарных функциях. II. Элементарные функции. Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций:
с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям. Элементарные функции по Лиувиллю. Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от x и функций , причем является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g1 от x. Например, sin(x) — алгебраическая функция от eix. Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома равны нулю. Многочлен. В математике, многочлены или полиномы от одной переменной где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе. Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов. Полиномиальные функции. Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию . Чаще всего рассматривают случай A = R. В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции . Свойства:
Рациональная функция. Текущая версия (не проверялась) Функция называется рациональной, если она может быть представлена в виде дроби: где , — многочлены. Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль. Свойства:
Степенная функция. Степенная функция комплексного переменного f(z) = zn с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел. А именно, известно, что любое комплексное число может быть представлено через его модуль и аргумент с помощью формулы Эйлера в виде z = | z | eiargz. Пользуясь этим, запишем пока формальное выражение для степенной функции:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1854)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |