Правила перевода чисел между системами счисления основаниями, являющимися степенями двойки

Для перевода восьмеричного числа в двоичную ПСС достаточно заменить каждую цифру соответствующим двоичным числом (таблица 3) и записать его в виде трехразрядного числа (триады). Например, цифра 2 в двоичной системе – 10, 10 в виде триады – 010; цифра 7 в двоичной системе – 111, 111 в виде триады – 111. Ненужные нули в старших и младших разрядах результата можно отбрасывать.

Таблица 3 – Соответствие цифр восьмеричной системы счисления и двоичной

Восьмеричная система счисления	Двоичная система счисления

 

Перевод шестнадцатиричного числа в двоичную ПСС производится аналогично. Двоичное число записывается в виде четырехразрядного числа (тетрады) (таблица 4). Например, цифра 1 в двоичной системе – 1, 1 в виде тетрады – 0001; цифра 7 в двоичной системе – 111, 111 в виде тетрады – 0111.

Таблица 4 – Соответствие цифр шестнадцатеричной системы счисления и двоичной

Шестнадцатеричная система счисления	Двоичная система счисления
A
B
C
D
E
F

 

Пример. Осуществить перевод:

а) 305.4₈ ( ? )₂

 

305.4₈ = 11000101.1₂

б) 7B2.E₁₆ ( ? )₂

 

7B2.E₁₆ = 11110110010.111₂

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример. Осуществить перевод:

а) 1101111001.1101₂ ( ? )₈

 

1101111001.1101₂ = 1571.64₈

 

 

б) 11111111011.100111₂ ( ? )₁₆

 

11111111011.100111₂ = 7FB.9C₁₆

 

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример. Осуществить перевод:

175.24₈ ( ? )₁₆

 

175.24₈ = 7D.5₁₆

 

Кодирование и формы представления числовой информации в ЭВМ

Любая информация (числа, команды, записи и т. п.) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Двоичный код состоящий из 8 разрядов носит название байта. Для записи чисел также используют 32-разрядный формат (машинное слово), 16-разрядный формат (полуслово) и 64-разрядный формат (двойное слово).

В компьютере используются следующие формы представления числовых данных:

– числа с фиксированной запятой (точкой); числа с плавающей запятой (точкой).

Представление чисел в форме с фиксированной точкой получило название естественной формы числа, представление с плавающей точкой – нормальной (нормализованной) формой числа.

В естественной форме представляются целые числа, в нормализованной форме – вещественные (целые и дробные).

При представлении числа в форме с фиксированной точкой указывается знак числа и модуль числа в q – ичном коде.

Число с плавающей точкой изображается в байтах памяти в виде мантиссы и порядка (основание системы в соответствующей степени)

В целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел.

Основные машинные коды чисел: прямой, обратный и дополнительный. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ.

К машинным кодам выдвигаются следующие требования:

– разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой (байт, полуслово, слово, двойное слово);

– для записи кода знака числа в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд (обычно старший). Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов ( с 0-го по 6-ой), а для записи кода знака один разряд (7-ой).

Для удобства записи машинных кодов условимся отделять знаковый разряд от цифровых запятой. Если количество разрядов кода в задании не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и двоичного кода его модуля, называется прямым кодом двоичного числа. Этот код строится путем перевода десятичного числа в двоичную СС и записи двоичного кода в разрядную сетку. Знак числа записывается в старшем разряде сетки, а все пустые разряды сетки между числом и знаковым разрядом заполняются нолями.

Если число положительное его обратный и дополнительный коды совпадают с прямым кодом этого числа.

Обратный код отрицательного числа получается путем инвертирования (замены 1 на 0, 0 на 1) всех разрядов прямого кода этого числа за исключением знакового.

Дополнительный код отрицательного числа получается путем прибавления единицы к младшему разряду обратного кода

Пример. Построить машинные коды числа 17₁₀.

Для построения прямого кода:

– переведите исходное число в двоичную СС. 17₁₀ = 10001₂;

– занесите число в разрядную сетку .

Т.к. разрядность сетки не было указана, работаем с байтом;

– в старший разряд занесите знак числа ;

– пустые разряды сетки заполняем нолями.

[17]пр = 0, 0010001.Т.к. число 17 положительное:

[17]пр = [17]обр = [17]доп = 0, 0010001.

 

Пример. Построить машинные коды числа -17₁₀.

Для построения прямого кода:

– переведите исходное число в двоичную СС. -17₁₀ = -10001₂;

– занесите число в разрядную сетку .

Т.к. разрядность сетки не было указана, работаем с байтом;

– в старший разряд занесите знак числа ;

– пустые разряды сетки заполняем нолями.

[-17]пр = 1, 0010001. Т.к. число -17 отрицательное строим отрицательный и дополнительный коды этого числа:

[-17]обр = 1, 1101110.

1, 1101110

1

[-17]доп = 1, 1101111

Особенности сложения целых чисел в дополнительном коде

– числа в ЭВМ складываются в дополнительных кодах, соответственно и результат сложения является дополнительным кодом числа. Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код;

– знаковые разряды слагаемых участвуют в сложении и формируют знак результата;

– возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается;

Пример. Сложить двоичные числа X и Y в дополнительном коде:

а) X= 111, Y= -11;

Двоичная арифметика	Прямой код	Сложение в дополнительном коде

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)обр=(X+Y)доп=(X+Y)пр.

б) X= -101,Y= -11;

Двоичная арифметика	Прямой код	Сложение в дополнительном коде

 

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

– из дополнительного 1,1110101 в обратный вычитаем единицу из младшего разряда (X+Y)обр = 1,1110100;

– обратного в прямой код производим инверсию разрядов за исключением знакового (X+Y)обр=1,1110100 (X+Y)пр=1,0001011. Таким образом, X+Y= -1011 и полученный результат совпадает с обычной записью.

 

Задание 3

Кодирование и формы представления текстовой информации в ЭВМ

С точки зрения ЭВМ текст состоит из отдельных символов. К числу символов принадлежат не только буквы (заглавные или строчные, латинские или русские), но и цифры, знаки препинания, спецсимволы: =, (, & и т.п. и даже пробелы между словами. Полный набор символов, используемый для кодирования текста, называется – алфавитом.

Каждый символ хранится в виде двоичного кода, который является номером символа. Можно сказать, что компьютер имеет собственный алфавит, где весь набор символов строго упорядочен. Количество символов в алфавите тесно связано с двоичным представлением и у всех ЭВМ равняется 256. Т.е. каждый символ всегда кодируется 8 битами, т.е. занимает ровно один байт.

Наиболее стабильное положение в алфавитах всех ЭВМ занимают латинские буквы, цифры и некоторые специальные знаки. Это связано с существованием международного стандарта ASCII (American Standard Code for Information Interchange - Американский стандартный код для обмена информацией). Русские же буквы не стандартизированы и могут иметь различную кодировку. В связи с этим таблица ASCII делится на базовую (значения кодов символов от 0 до 127) и расширенную (символам с кодами 128 до 255).

Пример. Закодируйте слова May и ЛЕТО

Воспользуйтесь таблицей ASCII и Windows 1251 (найти в Интернете).

Найдите в таблице код каждого символа слова May и ЛЕТО и переведите коды в двоичную СС (для перевода воспользуйтесь Калькулятором Windows). Запишите результат в разрядную сетку.

 

 

M
a
y

Л
Е
Т
О