Решение системы двух нелинейных уравнений

Дана система из двух нелинейных уравнений: .

Точным решением системы (корнями) является пара чисел: , .

Отделение корней. Область, в которой находятся корни, можно определить графическим способом.

Если построить графики функции y(x), удовлетворяющих этим уравнениям, в плоскости x,y , то точки пересечения этих функций (т.к. ) будут определять корни системы уравнений. Слева представлен график двух функций (построенный в системе MathCAD), с помощью которого определяются корни системы уравнений:

 

Уточнение корней методом итераций. При решении системы уравнений методом итераций, она представляется в виде . Если за начальное приближение корней принять пару , то итерационный процесс выглядит, как:

, … .

Если итерационный процесс сходится, т.е. существуют пределы , , то эти пределы являются решением исходной системы уравнений.

Для метода итераций справедлива следующая теорема:

Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одна (и только одна) пара корней , . Если:

1) функции , определены и непрерывно дифференцируемы,

2) начальные приближения и все последующие приближения принадлежат окрестности R,

3) в окрестности R выполняется условие , ,

то процесс итерации сходится.

 

Уточнение корней методом Ньютона. Для удобства обозначений перепишем систему в виде: . Пусть - приближенные значения корней системы при тогда для точных корней можно записать , . Используя разложение Тейлора для функции многих переменных около и ограничиваясь линейными слагаемыми по и , запишем:

, .

Если рассматривать эти уравнения, как систему линейных уравнений относительно и , то ее определитель

.

По правилу Крамера вычисляем:

,

.

В итоге итерационные формулы принимаю вид:

, ,

где и определяются предыдущими соотношениями. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия:

Лабораторная работа №4

1) С помощью метода итераций решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10^-6.

2) С помощью метода Ньютона решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10^-6.

1.a) b)

2.a) b)

3.a) b)

4.a) b)

5.a) b)

6.a) b)

7.a) b)

8.a) b)

9.a) b)

10.a) b)

11.a) b)

12.a) b)

13.a) b)

14.a) b)

15.a) b)

16.a) b)

17.a) b)

18.a) b)

19.a) b)

20.a) b)

21.a) b)

22.a) b)

23.a) b)

24.a) b)

25.a) b)

26.a) b)

27.a) b)

28.a) b)

29.a) b)

30.a) b)

 

Физическая задача №1

При поиске корней уравнения иногда ошибочно полагают, что если мало значение функции в какой то точке , то соответствующее значения аргумента близко к корню. Хорошим примером, иллюстрирующим ошибочность данного подхода является, например, ситуация экспоненциально затухающих электрических колебаний . Из формулы отчетливо видно, что на больших временах амплитуда тока очень мала, а число корней бесконечно и все они расположены через равные интервалы.

Задача поиска корня может быть весьма полезной для поиска экстремумов функции, если искать корни ее производной.

Постановка задачи. Пусть задана функция (

 

. (1)

 

При определенных значениях параметров функция описывает распределение молекул по скоростям Максвелла.

Требуется найти максимум этой функции аналитически и с помощью поиска корня . Поиск корня осуществить (как минимум) двумя методами. Представить график функции. Параметры индивидуального задания задаются по формуле (1) с помощью перебора целых значений k и m (от 1 до 4) и значений коэффициента b от 0.1 до 0.5.