Лабораторная работа №10
Цель:применениеметодов математической физики (уравнение колебания струны, уравнение теплопроводности). Задача 1. Исследовать процесс колебания жестко закрепленной струны. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда. Решение. Уравнение колебания струны. Рассматривается уравнение колебания жестко закреплённой струны в области , , (1.1) при граничных условиях , (1.2) и начальных условиях , . (1.3) Здесь – постоянная скорость распространения звука в среде, – отклонение струны от положения равновесия в точке в момент времени , и – заданные начальное отклонение и начальная скорость отклонения струны. Для решения рекомендуется применять метод разделения переменных Метод разделения переменных. Точное решение исходной задачи. Для получения точного решения исходной задачи (1.1)-(1.3) применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать решение в виде: . Подставляя в уравнение (1.1), получим . Разделим это равенство на . Тогда . (1.4) Следует отметить, что функция, стоящая в левой части равенства зависит от , а в правой – от . Следовательно, эти величины есть константа. Обозначим эту константу . Рассмотрим правую часть равенства (1.4). Уравнение при условиях , имеет решение , , . Тогда из левой части (1.4) следует, что и . Используя линейность исходной задачи (линейная комбинация решений есть решение) отсюда получаем: . (1.5) Подставляя начальные условия (1.3), находим уравнения для определения и : , Тем самым показано, что искомые и выражаются через коэффициенты Фурье разложений функций и по синусам (т.е. функции ) и продолжаются нечетным образом на отрезок и получающиеся функции продолжаются периодическим образом с периодом 2). Искомые и определяются по следующим формулам: , . (1.6) Итак, ряд (1.5), где и определены (1.6), представляет точное решение задачи (1.1)-(1.3). Скорость сходимости этого ряда, а, следовательно, и применимость указанных формул для численных расчетов решения определяется гладкостью начальных функций и . Задача 2.Исследовать изменение температуры в точке в момент времени в рамках уравнения теплопроводности. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда. Решение: Уравнение теплопроводности. Рассмотрим уравнение теплопроводности в области , , (2.1) при граничных условиях , (2.2) и начальных условиях (2.3) Здесь – постоянный коэффициент теплопроводности, – искомая температура в точке в момент времени , – заданная температура в начальный момент времени. Разбор одного варианта. Рассмотрим решение уравнения колебания струны в области , , (2.4) при граничных условиях , (2.5) и начальных условиях , , (2.6) где . (2.7) Решения рекомендуется получить в виде ряда Фурье.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (237)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |