Аналитическое решение в виде ряда Фурье

,

где

.

Подробнее:

Видим, что коэффициенты Фурье медленно убывают. Мажорантой этого ряда является ряд , который медленно сходится.

Рекомендации. Мажоранта (объявлять большим) и миноранта (объявлять меньшим) - две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Например, функция есть для мажоранта функции , так как для всех значений .

Для функций, представимых степенным рядом, термину "мажоранта" придают часто более специальный смысл, понимая под мажорантой сумму степенного ряда с положительными коэффициентами, которые не меньше абсолютных величин соответствующих коэффициентов данного ряда.

Если - мажоранта (в специальном смысле) функции , то пишут: . Например, , так как

, .

В этом (специальном) смысле уже не является мажорантой функции .

Варианты заданий

 

№	(1 задача)	(2 задача)
1 вариант	,
2 вариант	,
3 вариант	,
4 вариант	,
5 вариант	,
6 вариант	,
7 вариант	,
8 вариант	,
9 вариант	,
10 вариант	,
11 вариант	,
12 вариант	,
13 вариант	,
14 вариант	,
15 вариант	,

 

 

Лабораторная работа №12.Расчет задач по теме «Гидростатика и гидродинамика»

Задача 1. Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда , сечение струи (рис. 2). Найдите ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Решение:Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда для каждого момента времени, согласно уравнению неразрывности струи, можно записать

 

, (6.1)
где - скорость воды в сосуде, - скорость воды в струе вблизи отверстия. Возьмем производную по времени от (6.1)

 

,

где - ускорение воды в сосуде, - ускорение свободного падения, так на выходе из сосуда вода начинает свободно падать. Таким образом, .

Варианты заданий:

1 вариант	S1=2.3 см2, S2=0.3 см2.
2 вариант	S1=2.4 см2, S2=0.2 см2.
3 вариант	S1=2.7 см2, S2=0.3 см2.
4 вариант	S1=2.3 см2, S2=0.8 см2.
5 вариант	S1=2.3 см2, S2=0.3 см2.
6 вариант	S1=2.8 см2, S2=0.7 см2.
7 вариант	S1=2.5 см2, S2=0.4 см2.
8 вариант	S1=2.9 см2, S2=0.25 см2.
9 вариант	S1=2.45 см2, S2=0.33 см2.
10 вариант	S1=2.43 см2, S2=0.32 см2.
11 вариант	S1=2.56 см2, S2=0.36 см2.
12 вариант	S1=2.49 см2, S2=0.23 см2.
13 вариант	S1=2.38 см2, S2=0.25 см2.
14 вариант	S1=2.54 см2, S2=0.31 см2.
15 вариант	S1=2.46 см2, S2=0.32 см2.

Задача 2. Из крана выливается вода. Начиная с некоторого места, диаметр струи уменьшается на протяжении от до (рис. 3). Сколько воды вытечет из крана за время .

Решение: Воспользуемся условием стационарности течения несжимаемой жидкости

 

. (6.2)

Для идеальной жидкости справедливо уравнение Бернулли:

.

 

Поскольку жидкость свободно падает, то давления в обоих сечениях одинаковы, и уравнение Бернулли принимает вид:

 

. (6.3)

 

За время через любое сечение протекает один и тот же объем воды, поэтому можно записать

. (6.4)

 

Выразим скорость из (6.2) и (6.3):

 

.

 

Подставим полученное значение в (6.4) и получим окончательный ответ:

.

Варианты заданий:

1 вариант	a =1.5 см, b =0.6 см, t =45 сек., h = 21 см
2 вариант	a =1.7 см, b =0.4 см, t =55 сек.,h = 20 см
3 вариант	a =2.5 см, b =0.9 см, t =40 сек.,h = 25 см
4 вариант	a =1.8 см, b =0.65 см, t =60 сек.,h = 19 см
5 вариант	a =1.9 см, b =0.8 см, t =40 сек.,h = 15 см
6 вариант	a =2.5 см, b =0.4 см, t =75 сек.,h = 23 см
7 вариант	a =1.45 см, b =0.4 см, t =80 сек.,h = 13 см
8 вариант	a =3.2 см, b =0.7 см, t =70 сек.,h = 17 см
9 вариант	a =3.1 см, b =0.72 см, t =75 сек.,h = 19 см
10 вариант	a =3.15 см, b =0.65 см, t =67 сек.,h = 15см
11 вариант	a =2.2 см, b =0.72 см, t =50 сек.,h = 17 см
12 вариант	a =3.2 см, b =0.5 см, t =42 сек.,h = 18 см
13 вариант	a =3.3 см, b =0.62 см, t =80 сек.,h = 23 см
14 вариант	a =3.2 см, b =0.66 см, t =72 сек.,h = 16 см
15 вариант	a =3.6 см, b =0.55 см, t =87 сек.,h = 15 см

Задача 3. Площадь поршня в шприце см², а площадь отверстия мм² (рис. 4). Сколько времени будет вытекать вода из шприца, если действовать на поршень с силой (H) и если ход поршня равен см.

Решение:Так как из шприца вытечет вся находившаяся в нем жидкость, то

, (6.5)

 

где - скорость истечения струи. Будем считать жидкость идеальной, тогда можно использовать уравнение Бернулли:

 

.

 

Шприц расположен горизонтально, следовательно, . Уравнение Бернулли тогда запишется следующим образом:

 

, (6.6)

 

где - атмосферное давление, а - скорость движения поршня. Из уравнения неразрывности следует

 

. (6.7)

 

Решая совместно уравнения (6.6) и (6.7), получим

 

,

отсюда

.

 

Подставляя найденное значение в (6.5), получим

 

.

 

Так как , то можно записать

 

.

Варианты заданий:

1 вариант	S1 = 2.1 см2, S2 = 1 мм2, F = 4.5 H, l = 5.5 см
2 вариант	S1 = 2.2 см2, S2 = 1.3 мм2, F = 6 H, l = 4.8 см
3 вариант	S1 = 3 см2, S2 = 1.5 мм2, F = 5.5 H, l = 5.5 см
4 вариант	S1 = 2 см2, S2 = 1.1 мм2, F = 7 H, l = 5 см
5 вариант	S1 = 2.3 см2, S2 = 1.3 мм2, F = 5 H, l = 6 см
6 вариант	S1 = 2 см2, S2 = 1.2 мм2, F = 5 H, l = 7 см
7 вариант	S1 = 1.2 см2, S2 = 0.3 мм2, F = 4 H, l = 9 см
8 вариант	S1 = 4.6 см2, S2 = 2.4 мм2, F = 9 H, l = 16 см
9 вариант	S1 = 4.4 см2, S2 = 2.3 мм2, F = 8 H, l = 14 см
10 вариант	S1 = 1.5 см2, S2 = 0.3 мм2, F = 4 H, l = 10 см
11 вариант	S1 = 2.6 см2, S2 = 1.2 мм2, F = 7 H, l = 8 см
12 вариант	S1 = 4.6 см2, S2 = 2.4 мм2, F = 8 H, l = 15 см
13 вариант	S1 = 4.5 см2, S2 = 2.33 мм2, F = 10 H, l = 14 см
14 вариант	S1 = 3.6 см2, S2 = 1.7 мм2, F = 6.5 H, l = 14 см
15 вариант	S1 = 2.35 см2, S2 = 1.14 мм2, F = 5.5 H, l = 11 см