Управляемость систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением
(6.1) Где (6.2) Через ( k=1,...,n) здесь обозначены переменные, определяющие состояние системы: ( l=1,...,r)- приложенные к системе управляющие силы, называемые также «управлениями». Элементы матриц А и G предполагаются здесь постоянными. Векторное дифференциальное уравнение (1) эквивалентно системе скалярных дифференциальных уравнений (6.3) Уравнения (3) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и их можно интерпретировать, например, как уравнения в вариациях относительно установившегося движения (или относительно состояния равновесия) некоторой системы материальных точек. Пусть s- число степеней свободы этой системы, а ,…, — ее обобщенные координаты. Ранг системы уравнений (3) при этом будет Переменные ( i=1,…,n) в уравнениях (3) могут быть фазовыми координатами или каноническими переменными (обобщёнными координатами и обобщёнными импульсами) рассматриваемой системы материальных точек или быть связанными с ними при помощи некоторого линейного преобразования. Так как у системы материальных точек число приложенных обобщённых сил не может превышать числа степеней свободы, то число г управляющих сил : ( l=1,...,r) в дифференциальных уравнениях (3) должно удовлетворять условию Заметим еще, что те из уравнений системы (3), которые выражают лишь зависимость между переменными например уравнения вида (6.4) в случае, когда — фазовые координаты системы, требуют выполнения тождеств (6.5) для чего необходимо, чтобы соответствующие строки матрицы G состояли из нулевых элементов (6.6) Обычно управляемая система имеет, однако, более сложную структуру. В ее состав входят еще устройства для формирования управляющих сигналов и др. При этом в число уравнений (3) могут входить также дифференциальные уравнения, описывающие программы включенных в состав системы вычислительных управляющих устройств и т. п. Эти уравнения могут содержать и свои управляющие воздействия. В этом случае будет иметь место соотношение n>2s, где под s здесь подразумевается число степеней свободы лишь совокупности механических звеньев, входящих в систему (3), а также может оказаться, что r > s. Рассмотрим сейчас вопрос о том, можно ли систему, описываемую уравнением (1), перевести из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения управляющих сил . Сформулированное здесь свойство получило название управляемости. Системы, обладающие этим свойством, называются вполне управляемыми. Так как управляемость системы определяется строением матриц А и G, то понятие управляемости относят также к этим матрицам, говоря, что пара ( A, G) вполне управляема, или соответственно неуправляема. Перейдем к решению поставленной задачи. Закон движения системы, описываемой уравнением (1), будет следующим: (6.7) Предположим, что существует такой закон изменения управляющих сил который обеспечивает приведение системы к моменту времени в начало координат, то есть обеспечивает выполнение условия (6.8) Так как согласно (7) (6.9) то в соответствии с (8) будем иметь следующее соотношение: (6.10) Условие управляемости системы (1) состоит в том, что ранг матрицы должен быть равен n. Одним из возможных управлений является, например, управление где а символом * обозначена транспонированная матрица.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (509)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |