Метод А. Н. Колмогорова и Н. Винера. Стационарные случайные процессы

Рассмотрим одномерную линейную управляемую систему, на вход которой поступает сигнал

(12.1)

где - полезный сигнал, а - помеха. Будем считать, что и - стационарные случайные процессы с нулевыми средними значениями. Назначением системы является возможно более точное преобразование (в частном случае — воспроизведение) полезного сигнала .

Передаточную функцию системы обозначим через , а ее функцию веса через .

Сигнал на выходе системы (в предположении, что начальный момент времени будет иметь следующий вид:

(12.2)

Пусть система предназначена для прогноза полезного входного сигнала. Для осуществления прогноза потребуем, чтобы сигнал на выходе системы в момент времени t представлял собой наилучшее (в смысле минимума дисперсии ошибки) приближение к , где . При имеем задачу прогноза. При рассматриваемая задача является задачей фильтрации входного сигнала.

Ошибка приближения сигнала на выходе системы к будет

(12.3)

или в соответствии с (2)

(12.4)

Дисперсия ошибки приближения будет

(12.5)

Будем искать теперь функцию веса , которая доставляет минимум функционалу . Указанную функцию веса будем считать оптимальной функцией веса, а соответствующую ей систему оптимальной линейной системой.

Найдем теперь необходимое условие, которому должна удовлетворять функция для того, чтобы она доставляла минимум функционалу

(12.6)

Для этого заменим функцией , где — некоторый произвольный параметр, не зависящий от t, а - произвольная функция, которая аналогично функции , удовлетворяет требованию

Необходимое условие минимума функционала (7) имеет вид

(12.7)

И принимает вид

(12.8)

Нетрудно видеть, что условие является не только необходимым, но и достаточным условием минимума функционала 1.

Таким образом условие является необходимым и достаточным условием минимума дисперсии .

Так как условие (19) должно выполняться при любых функциях то в соответствии с (17) условие минимума дисперсии принимает вид

(12.8)

Таким образом, функция веса , удовлетворяющая интегральному уравнению (8), обеспечивает минимально возможное значение дисперсии ошибки .

Интегральное уравнение (8) получено H. Винером [8]. Чтобы согласовать с обозначениями Винера, заменим в (8) переменную интеграцию Θ на Λ. Аргумент корреляционных функций и , который в (8) обозначен через , заменим на .

Х примет тогда вид

(12.9)

В задаче фильтрации, то есть при

(12.10)

оптимальная функция веса должна в соответствии с (9) удовлетворять интегральному уравнению

(12.11)

Многомерные случайные процессы. Оптимальные фильтры Кальмана — Бьюси.