Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

Правило 1

Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно воспользоваться выражением (1). Сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы, из которой осуществляется перевод, а затем цифры исходного числа. Результаты подставляются в выражение (1). Полученная сумма дает искомый результат.

Пример. Перевести в десятичную систему счисления числа С7₍₁₆₎ и 1010₍₂₎ :

С7₍₁₆₎ = 12*16¹ + 7*16⁰ = 192 + 7 =199 ₍₁₀₎ ;

1010 ₍₂₎ = 1*2³ + 1*2¹ = 8+2 10.

Схема Горнера

Эквивалентными являются алгоритмы для вычисления значения многочлена в некоторой точке х, заданные следующими формулами:

(8)

(9)

Запись (9) носит название вычислительной схемы Горнера.

Например:

Алгоритм, задаваемый формулой (9) требует меньше арифметических операций и сводится к выполнению последовательной цепочки операций умножения и сложения в порядке их записи слева направо, поэтому при переводе чисел в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в систему с основанием р, необходимо разделить ее на р, остаток даст младший разряд числа. Полученное частное вновь делят на р — остаток даст следующий разряд числа и т.д.

Пример. Перевести десятичное число 25 в двоичную систему счисления:

25 : 2 = 12 (остаток 1);
12 : 2 = 6 (остаток 0),
6 : 2 = 3 (остаток 0),
3 : 2 = 1 (остаток 1),
1 : 2 = 0 (остаток 1).

Таким образом, 25₍₁₀₎ = 11001₍₂₎ .

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.

Правило 2

Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р:

1. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания счисления.
2. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот просты потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2.

Правило 3

Для того, чтобы перевести число, записанное в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются. Например:

12345667₍₈₎ = 001 010 011 100 101 110 110 111₍₂₎ =
= 1 010 011 100 101 110 110 111₍₂₎.

Правило 4

Обратный перевод производится так: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть выровнено, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно трем. Выравнивание производится простым дописыванием требуемого количества нулей перед старшим разрядом целой части числа. Например:

1100111₍₂₎ = 001 100 111₍₂₎ = 147₍₈₎.

Правило 5

При переводах чисел между двоичным и шестнадцатеричным системами счисления используются четверки двоичных чисел — тетрады. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем. Например:

12345ABCDEF₍₁₆₎ = 1 0010 0011 0100 0101 1010 1011 1100 1101 1110 1111₍₂₎;
11001111010 1110₍₂₎ = 0110 0111 1010 1110₍₂₎ = 67AF₍₁₆₎.

Правило 6

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа. Например:

1234567₍₈₎ = 001 010 011 100 101 110 111₍₂₎
= 0101 0011 1001 0111 0111₍₂₎ = 53977₍₁₆₎;

1267ABC₍₁₆₎ = 0001 0010 0110 0111 1010 1011 1100₍₂₎
= 010 010 011 001 111 101 010 111 100₍₂₎ = 223175274₍₁₆₎.