Техника вычисления пределов
Подставить значение, к которому стремиться х в функцию. Если предел вычисляется, то полученное значение и будет пределом данной функции. Чему равен предел: Lim х→1 Если предел не вычисляется, то надо применить определенную технику
Могут возникнуть неопределенности: ∞/∞; 0/∞; 0/0 и т.д.
1. Деления на максимальную степень. Чему равен предел: Lim х→ ∞ 2. Разложение квадратного трехчлена на множители
Чему равен предел: Lim х→ -2 Левый и правый предел функции Опр. Если число А1 есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения > a, то число А1 называется правым пределом функции. lim f(x)= А1 х→а+0 аналогично: Опр. Если число А2 есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения < a, то число А2 называется левым пределом функции. lim f(x)= А2 Если А1 = А2= А, то это предел функции х→а-0
Примеры :В. А. Подольский № 7.46,7.47;7.48;7.51
Пр. Найти придел функции у = 1/(х+2) lim 1/(х+2) = - ∞ х→-2-0 lim 1/(х+2) = + ∞ х→-2+0
Найти придел функции у = х/(х-3) lim х/(х-3) = + ∞ lim х/(х-3) = - ∞ х→-3-0 х→-3+0 Непрерывность и точки разрыва 1. Приращение аргумента и приращение функции Если х1 и х2 –значения аргумента х, а f(x1) и f(x2) значения функции y=f(x), то ∆х= x2 – x1, называется приращением аргумента на отрезке [x2 , x1], а величина ∆у= f(x2) - f(x1)=f(x+∆х) –f(x) , ∆у – приращение функции на этом отрезке. Пример: Вычислить приращение аргумента и приращение функции у=х2-2х+3 а) от х1=0 до х2=1; б) от х1=-1 до х2=3; а) ∆х= x2 – x1 =1- 0 = 1; ∆у = 1-2+3-3= -1 б) ∆х= x2 – x1 = 3-(-1) = 4; ∆у = 9-6+3-(1+2+3) = 0 пр. 7.175; 7.178-7.180 Первое определение непрерывности Функция y=f(x) называется непрерывной в (.) х= а, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке, соответствует бесконечно малое приращение функции. lim ∆у = 0 ∆х→а Второе определение непрерывности Функция y=f(x) называется непрерывной в (.) х= а, если: - она определена в (.) х= а, т.е существует ее значение в (.) х= а, равное f(а); - существует конечный предел функции в этой точке, т.е. lim f(x)= А; х→а - этот предел равен значению функции в (.) х= а, т.е. . lim f(x)= А= f(а). х→а Примером непрерывности функции может служить любая элементарная функция. Которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка х=а называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х= а, но в самой точке х= а не удовлетворяет условию непрерывности. Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва первого рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы (левый и правый предел). К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен. Точки разрыва первого рода делятся в свою очередь на точки. В которых разрыв устраним, когда lim f(x)= lim f(x) ≠ f(а) х→а-0 х→а+0 И на точки скачка функции, когда lim f(x)= lim f(x) ≠ f(а) х→а-0 х→а+0 а разность f(а+0) - f(а+0) называется скачком функции в точке х= а. Пр.Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+3) ООФ функция определена при х? ( -∞;-3 ) (-3; +∞) Найдем левый и правый пределы lim 1/(х+3) = - ∞ х→-3-0 lim 1/(х+3) = + ∞ х→-3+0 Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х=-3, т.к. левый и правый пределы бесконечны. Рис. Пр. Исследовать функцию на разрыв у =1/(1+21/х) ООФ х ≠ 0 lim 1/(1+21/х) = 1 х→-- 0 lim 1/(1+21/х) = 0 х→-+ 0 Данная функция имеет разрыв первого рода в точке х=0, так-так левый и правый придел имеют конечные значения. Имеется скачек функции. Рис. Пр.Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+5)2 ООФ функция определена при х? ( -∞;-5 ) (-5; +∞) Найдем левый и правый пределы lim 1/(х+5)2 = + ∞ х→-5-0 lim 1/(х+5)2 = + ∞ х→-5+0 Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = -5, т.к. левый и правый пределы бесконечны. Рис.
Пр. Исследовать функцию на разрыв х при х ≤ 0 х2 при 0 < х ≤ 1 x +1 при х >1
Найдем левые и правые приделы в точках изменения функции: lim х2= 1 lim х+1= 2 lim х2= 0 lim х = 0 х→1—0 х→1+ 0 х→+ 0 х→- 0 Функция имеет разрыв 1-го рода со скачком функции в точке х =1 Рис. Пр . Исследовать функцию на разрыв у =31/х ООФ х ≠ 1 Найдем левые и правые приделы lim 31/х = 0 х→- 0 lim 31/х = +∞ х→+0 Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = 0, т.к. правый предел бесконечен.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (582)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |