Производная и дифференциал

Понятие производной

Опр.Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к 0.

у^⁄ = lim∆у/∆х

∆х→0

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в (.) х.

Нахождение производной функции f(x) называется дифференцирование этой функции.

Можно сказать, что производная у^⁄ функции y=f(x) в данной точке х представляет собой относительную скорость изменения функции в точке х. Например, если в некоторой точке х имеется у^⁄ = 2, то это означает, что на участке (х; х+∆х) функция у возрастает приблизительно в 2 раза быстрее, чем аргумент х, т.е. ∆у/∆х = 2, при этом данное приближение тем точнее, чем меньше ∆х.

Теорема:

Если функция имеет производную в точке х, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Пр. Пользуясь определением производной найти производную функции у =х², у = 2х+5;

∆у = f(х+∆х) –f(x) = 2(х+∆х)+5-(2x+5)=2х+2∆х+5-2х-5=2∆х

у^⁄ = lim∆у/∆х = lim 2∆х/∆х=2

∆х→а ∆х→а

Пр. у =х², найти у^⁄.

Основные правила дифференцирования

Если f(x) и g(x) дифференцируемые функции, то:

1. С^⁄ = 0 производная постоянной функции равна 0

2. x^∕ = 1

3. (f(x)±g(x))^⁄= f^⁄(x)± g^⁄(x) производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

4. Производная произведения двух функций

[f(x)∙g(x)]^⁄=f^⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g^⁄(x)

5. Производная частного от деления двух функций равна:

[f(x)/g(x)]^⁄= [f^⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g^⁄(x)]/ g²(x)

6. Постоянный член можно выносить за знак производной

[С f(x)]^⁄=C[f^⁄x)]^⁄

 

Дифференцирование функций производят с помощью основной таблицы производных.

Пр. Найти производные следующих функций:

y = x⁵ – 9x⁴ + 5x² – 8

Решение:

y¢ = 5x⁴ – 36x³ + 10x

При решении первого примера использовалась формула производной из таблицы производных y =xⁿ

y¢= nx^n-1

y = sinx / (1+2x)

y¢= (cosx (1+2x) - 2 sinx) / (1+2x)²

При решении второго примера используется правила дифференцирования: - y^/ = (u/v)^/ и производная функции (Sinx)^/

 

Найти производные следующих функций:

1. y = 6x^-4+4 x^-3- 7x^-2 – 3x^-1 + 15

2. y = (x² +3x - 4)* lnx

3. y = (9-2x)* (2x³- 9x² + 1)

4. y = (2x - 3)/(3x + 7)

В первом примере для решения используется табличное значение производной по формуле:

y =xⁿ ; y¢= nx^n-1

Для решения второго примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y¢= nx^n-1 ; y = lnx ; y¢= 1/х, и правило дифференцирования - y^/ = (uv)^/ .

Для решения третьего примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y¢= nx^n-1 ; и правило дифференцирования - y^/ = (u/v)^/ .

Для решения четвертого примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y¢= nx^n-1 и правило дифференцирования - y^/ = (uv)^/ .

Производная сложной функции

Опр.Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Пусть у = f (u) ,u= u (x) дифференцируемые функции, тогда

y/_x= y/_u * u/_x

 

Примеры: найти производные сложных функций:

1. y = sin (2x -1)

2. y = ln(3 x + 4)

Разбор примеров на доске.

1. y = sin (2x -1)

введем обозначение 2x-1=u, тогда

y¢= (Sinu)^/·u^/_x

y¢= 2cos(2x-1)

 

2. y = ln(3 x + 4)

введем обозначение (3x + 4) =u, тогда

y¢= (lnu)^/* u^/_x

y¢= 3/(3x + 4)

Закрепление темы

Решить примеры:

1. y = (5x + 2)⁴

2. y = Ln (3x² –2x + 5)

3. y = 10^5-3x

4. y = cosx²

Решение:

1. y = (5x + 2)⁴

Введем обозначение: 5x + 2 = u

тогда y¢= (u⁴) ^/ * u^/_x

y¢= 3(5x + 2)³*5 = 15(5x + 2)³

 

2. . y = Ln (3x² –2x + 5)

введем обозначение: (3x² –2x + 5) =u, тогда

y¢= (lnu)^/* u^/_x

y¢= (6x-2)/(3x² –2x + 5)

 

3. y = 10^5-3x

Введем обозначение: 5 –3x = u

тогда y¢= (10^u)^/* u^/_x

y¢= (-3) * 10^5-3x/ Ln10 = -3*10^5-3x/ Ln10

 

4. y = cosx²

Введем обозначение: x² = u

тогда y¢= (cosu)^/* u^/_x

y¢= sinx²*2x = 2x*sinx²

Производные высших порядков

Опр. Производная второго порядка (вторая производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее производной.

 

Опр. Производная третьего порядка (третья производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее второй производной.

 

Опр. Производная n-го порядка (n-я производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее (n-1) производной.

 

Пр. Вычислить вторую производную от функции:

y = 1/ (x-1)

y = x sin2x

Решение примеров.

1. y = 1/ (x-1)

y = (x-1)^-1

y¢ = -(x-1)^-2

у^∕∕= 2(x-1)^-3

2. y = x sin2x

y¢= sin2x + 2хcos2x

у^∕∕=2cos2x + 2cos2x - 4хsin2x = 4cos2x - 4хsin2x

Пр.8.322-8.326

 

Геометрический смысл производной и понятие дифференциала функции

Производная функции y=f(x) равна tg(α), f^⁄(x) = tg(α), где tg(α), есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в (.) х,

 

Уравнение касательной выглядит следующим образом:

у – у_о = у^⁄ (х₀)(х- х₀)

 

Дифференциал функции

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная часть ее приращения, п пропорциональная приращению ∆х независимой переменной.

Дифференциалом dx независимой переменной х называется ее приращение ∆х.

Дифференциал любой дифференцируемой функции y=f(x) равен произведению производной на дифференциал независимой переменной.

dy = y¢(x)dx

y¢(x) = dy/dx

если ∆х мала, то ∆у = dy

у(х+∆х) =у(х) + ∆у = у(х) + dy = у(х) + y¢(x) dx

рис.

 

 

Найти ∆у и dy функции у = х² –х+1 при х = 3, ∆х = 0,01

∆у = у(х+∆х) - у(х) = (х + ∆х)²- (х +∆х) + 1 – (х² –х+1) = 3,01²- 3,01+ 1 - 9 + 3 -1=

= 9.061-3,01-6 = 0,0501

dy = y¢(x)dx = (2х – 1)dx =0,05

Задача:

На сколько изменится сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м² до 15,82 м²

S = y². где у- сторона квадрата

у =√S, найти ∆у

∆S = 16-15,82 = 0,18

∆у ≈ dy = y¢∙dS, dS≈ ∆S,

Dy = (1/2√S)∙∆S = (1/2√16)∙0,18 = 0,18/8 = 0,0225

 

Исследование функции с помощью производной

Понятие функции

Величина у называется функцией переменной величины х , если каждому из тех значений , которые может принимать х, соответствует одно или несколько определенных значений у, при этом х называют аргументом.

Область определения функции (ООФ)

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции у.

Способы заданий функции

- аналитический

-графический

- параметрический

Область значений функции (ОЗФ)

Все значения, которые принимает функция там, где она определена.