Теоретический материал. Лабораторная работа № 1

Лабораторная работа № 1

Элементы теории нечетких множеств для принятия решений.

Цель работы:

1) познакомиться с понятием нечетких множеств;

2) рассмотреть операции, возможные на нечетких множествах;

3) изучить процесс принятия решений на основе теории нечетких множеств;

4) решить задачу поиска перспективного ассортимента предприятия оптовой торговли (по вариантам).

Теоретический материал

Теория нечетких множеств – раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория нечетких множеств – это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием – элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству к непринадлежности их этому множеству может происходить постепенно, не резко.

Нечеткие илиразмытые множества - понятие, предложенное американским специалистом в области теории управления Л.Л.Заде в 1965 г. для описания и исследования сложных систем, когда применение точного количественного анализа оказывается малоэффективным. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество. К настоящему времени уже можно говорить об обширном разделе нечеткая математика, который активно используется при рассмотрении задач экономического, социального, политического характера, в психологии, распознавании и классификации образов, в лингвистике и теории языков и т.д.

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для принятия решений, в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей.

Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.

Пусть имеется некоторое (так называемое универсальное) множество А.

Нечеткое множество Х в А задается своей функцией принадлежности μх, ставящей в соответствие каждому элементу х множества А определенное число μх(х), из отрезка [0, 1], которое интерпретируется как степень принадлежности элемента х нечеткому множеству Х. Функция принадлежности μ_A(x) количественно градуирует принадлежность элементов x фундаментальному множеству X. Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 описывает полную принадлежность элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.

Пустому нечеткому множеству соответствует функция принадлежности, тождественно равная нулю на множестве А.

Нечеткое множество унимодально, μ_A(x)=1 только на одном х из А.

Нечеткие множества Х и Y считают равными и при этом пишут X = Y, если совпадают их функции принадлежности. Нечеткое множество Х называется подмножеством нечеткого множества Y, если их функции принадлежности связаны неравенством μх(х)£ μ_Y(х) для всех х из множества А.

Примерами нечетких множеств могут служить множества «чисел, близких к нулю», «очень больших чисел», «новых предприятий», «больших городов», «знаков, похожих на букву А» и т.д.

В прикладных задачах конкретный вид функции принадлежности определяется с учетом специфики задачи и иногда это может оказаться непростым делом.

В теории нечетких множеств по аналогии с обычной теорией множеств вводятся операции объединения, пересечения, дополнения и др., которые чаще всего определяются как нечеткие множества с функциями принадлежности соответственно

для каждого х из множества А. Многие известные свойства теоретико-множественных операций справедливы и для нечетких множеств. Но существуют и отличия. Например, объединение дополнения данного множества с самим этим множеством не обязательно совпадает с универсальным множеством А.

Обычные множества представляют собой частный случай нечетких множеств, когда функция принадлежности принимает лишь два значения - 0 либо 1. При этом приведенные выше операции над нечеткими множествами в случае такой функции принадлежности превращаются в известные теоретико-множественные операциями над обычными множествами.

Нечеткое число определяется как нечеткое подмножество множества вещественных чисел, т. е как функция, заданная на множестве чисел и принимающая значения в пределах от нуля до единицы.

Нечеткая функция из Х в Y определяется как нечеткое множество на (четком) декартовом произведении Х х Y. Иными словами, нечеткая функция указывает каждой паре х, у из соответствующих множеств некоторое число в пределах от нуля до единицы, которое можно интерпретировать как степень соответствия.

В настоящее время существуют такие понятия как нечеткая производная, нечеткий интеграл и многие другие обобщения широко известных понятий математики.

Активно разрабатывается раздел нечеткая логика. Это направление имеет многочисленные применения в практике. Например, уже сравнительно давно на мировом рынке компьютеров продаются модели, основанные на нечеткой логике. При решении определенных задач они оказываются эффективнее обычных компьютеров.

Величина называется высотой нечеткого множества Х. Нечеткое множество Х нормально, если его высота равна 1, т.е верхняя граница его функции принадлежности равна 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Необходимость введения нечетких множеств (НМ) обоснована тем, что по мере роста сложности систем падает наша способность делать точные и значащие утверждения относительно поведения системы.

Таблица 1

Таблица 2.

Пример 1. Понятие «высокий»

Отличие mA(ui) от функции распределения случайной величины: m - функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а функция распределения – это объективный закон, независимый от отношения специалиста к этому явлению.

Способы задания отношений га нечетком множестве:

теоретико-множественный, матричный, графический и с помощью нечетких предикатов.

Теоретико-множественный: перечисление X= {Xi} и задание = {mF (xi, xj), (xi, xj)}, где (xi, xj)ÎX2.

Матричный: задается матрица смежности Rj , где на пересечении i-ой строки и j – го столбца стоит rij = mF (xi, xj).

Можно задать в виде графа с множеством вершин X, дугами (xi, xj), которым приписано mF (xi, xj).

= ( X, ) – нечеткое отношение, если mF (a, b) Î F; a, b Î X, то a b – нечеткое логическое высказывание, значение истинности которого mF (a, b).

Размытое число (РЧ) используется для обозначения неточно определяемой величины, такой как «около 5». РЧ – это любое подмножество m = {x, mm (x)}, где x – число на прямой R и , mm (x)Î [0,1].

Два числа равны, если их меры членства равны.

РЧ может быть представлено в дискретной или непрерывной форме.

Лингвистическая переменная (ЛП) - переменная, заданная на некоторой количественной шкале и принимающая значения в виде слов и словосочетаний естественного языка.

Значение ЛП описывается нечеткими переменными. Любая ЛП связана с конкретной количественной шкалой. Эта шкала называется базовой. Масштаб шкалы может быть любой.