История чисел и систем счисления

Глава 1. Системы счисления

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество.

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают.

Все мы ходили в первый класс и считали там на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались камешки). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число.

 

 

 

 

 

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно представить в таблице:

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.

Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления вес цифры не зависит от ее положения в числе, поэтому они называются непозиционными системами счисления. Вес цифры это ее количественный эквивалент или тот вклад, который она вносит в значение числа.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется в нумерации (века, тома в собрании сочинений, главы книги). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

 

I V X L С D М

1 5 10 50 100 500 1000

 

Например, число ССХХХII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум. Если слева в записи римского числа стоит меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются, в остальных случаях значения складываются.

VI = 5+1 = 6, а IV = 5 - 1 = 4.

МСМХСVII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

 

 

На Руси вплоть до XVIII века использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак ~ (титло). Например: . Интересно, что существовали обозначения очень больших величин. Самая большая величина называлась «колода» и обозначалась знаком . Это число равно 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.

 

Позиционные системы

 

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в Древнем Вавилоне.

В позиционных системах счисления вес цифры зависит от позиции цифры в числе.

Основание позиционной системы счисления равно количеству используемых в системе цифр.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

 

Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления. Записывать сколь угодно большие числа. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Что означает свойство позиционности системы счисления, легко понять на примере любого многозначного десятичного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные значения.

 

333 = 3 · 100 + 3 · 10 + 3.

 

Еще пример:

 

32 478 = 3 · 10 000 + 2 · 1000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 8 = 3 · 10⁴ + 2 · 10³ + 4 · 10² + 7 · 10¹ + 8 · 10⁰.

 

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

1 0 -1 -2 -3

2 6,3 8 7 = 2 · 10¹ + 6 · 10⁰ + 3 · 10^-1 + 8 · 10^-2 + 7 · 10^-3.

Такая запись числа называется – развернутым видом числа.

Для того, чтобы написать развернутый вид числа необходимо: над каждой цифрой числа справа налево поставить номера разрядов, начиная с нулевого, затем каждую цифру умножить на основание СС в степени разряда.

Очевидно, число «десять» — не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н. Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

 

Вот примеры алфавитов нескольких систем:

 

Основание	Система	Алфавит
n=2	Двоичная	0 1
n=3	Троичная	0 1 2
n=8	Восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n=16	Шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

 

Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу:

 

101101₂, 3671₈, ЗВ8F₁₆.

 

Напишем развернутый вид этих чисел:

 

5 4 3 2 1 0

1 0 1 1 0 1₂ = 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰

 

3 2 1 0

3 6 7 1₈ = 3*8³+6*8²+7*8¹+1*8⁰

 

3 2 1 0

З В 8 F₁₆= 3*16³+B*16²+8*16¹+F*16⁰

 

А как строится ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления? Происходит это по тому же принципу, что и в десятичной системе. Сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные ит. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе — 9. Затем следуют двузначные числа — 10, 11,12, … Самое большое двузначное число — 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.

Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел выглядит так:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Видно, что здесь число цифр «нарастает» быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел:

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011

 

Коротко о главном

Система счисления — это определенный способ записи чисел и соответствующие правила действия над числами.

 

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Примером непозиционной системы является римская система записи чисел.

 

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от позиции цифры в числе.

 

Алфавит системы счисления — множество цифр, используемых в ней. Основание системы счисления равно мощности алфавита (числу цифр).

 

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления – 2. Такая система называется двоичной.

 

Арабская система записи чисел является десятичной, позиционной.

 

Вопросы и задания

 

1. Что такое система счисления?

2. В чем основное различие позиционных и непозиционных систем счисления?

3. Чему равно основание системы счисления?

4. Почему арабская система записи чисел называется десятичной позиционной?

5. Каково наименьшее основание для позиционной системы?

6. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами:

XI; IX; LХ; CLX; МDCХLVIII?

7. Запишите римскими цифрами числа, равные следующим десятичным:

13; 99; 666; 444; 1692.

8. Напишите развернутый вид чисел:

276₁₀, 25,88₁₀, 632₈, 12В₁₆, 434₅, 100001₂.