Практическая работа № 6 « Вычисление характеристик ДСВ. Вычисление характеристик функций от ДСВ»

 

Основные понятия и определения.

 

К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С)=С

- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(Сх)=С*М(х)

- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:

- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(х₁*х₂*…*х_n)=М(х₁)*М(х₂)*…М(х_n)

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(x)=M((x-M(x))²) или D(x)=M(x²) – (M(x))²

Среднеквадратическое отклонение:

Свойства дисперсии:

- дисперсия постоянной равно нулю:

D(С)=0

- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(Сх)=С²*D(х)

- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:

Свойства среднеквадратического отклонения:

-

-

Пример 1.Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

xi
pi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение.р(х<2)=0,1;

р(х>4)=0,1;

р(2≤х≤4)=0,2+0,4+0,2=0,8;

М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;

D(x)=1²*0,1+2²*0,2+3²*0,4+4²*0,2+5²*0,1-3²=1,2

σ(x)= =1,095

Пример 2.Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц	0,6	0,4	0,2		-0,2
Р	0,2	0,5	0,2	0,06	0,04

Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

Решение.х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.

М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352

М(10000х)=10000*0,352=3520 $

D(x)=0.6²*0.2+0.4²*0.5+0.2²*0.2+0²*0.06+(-0.2)²*0.04-0.352²=0.037696

σ(x)= =0.194154578

D(10000x)=10000²* D(x)=19415457.76

σ(x)= =0.441

Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

 

Задания:

1. Случайная величина X задана рядом распределения:

xi	-1
pi	p2	p1

Найти Р{X<0}, P{X>-1}, P{-1<X<1}. Найти MX, DX.

 

2. Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).

Практическая работа № 7 «Вычисление характеристик

Биномиального распределения»

Основные понятия и определения.

 

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей одной случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства:

Характеристическая функция:

Моменты:

1. Математическое ожидание:

2. Дисперсия:

3. Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра .

 

Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

 

Задания:

 

1. В партии однотипных деталей стандартные составляют Р%. Наугад из партии берут N деталей. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М(Х), D(X), S(Х) для дискретной случайной величины Х — появления числа стандартных деталей среди N наугад взятых.

2. Два ювелирные заводы производят свадебные кольца в объеме3:7. Первый завод производит P% колец без дефекта, второй – 90%. Молодая пара перед свадьбой покупает пару колец. Построить закон распределения, вычислить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Практическая работа № 8 «Вычисление характеристик НСВ»

Основные понятия и определения.

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ<x), либо её производной f(x)= , называемой плотностью вероятности.

Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

f(x)=F'(x),

а зная f(x), найдём функцию распределения:

Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:

.

Причём .

Пример.Задана следующая функция распределения:

Найти плотность распределения.

Решение.

Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

f(x)=F'(x)=

Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:

,

Пример 1.Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить, что ждать придётся не более 10 минут.

Решение.

 

Пример 2.Задана плотность распределения:

Найти h.

Решение.

h-2=1 Þ h=3

Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:

,

где а и σ – параметры нормального распределения, σ >0.

В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a, σ).

Если а=0 и σ=1, то и эта функция обозначается через φ(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через .

Значения Ф(х) затабулированы, .

 

Пример.Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?

Решение.

Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Пример.Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?

Решение.

Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

 

Равномерное распределение.

Пример.Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.

Решение.

Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

 

Задания:

 

1. Рост женщины в Уфе имеет нормальное распределение. Средний рост женщины в Уфе а=165 см, σ=8 см. Какова вероятность, что рост первой встречной женщины будет в пределах 150-170 см?

2. Время ожидания поезда (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, t]. Определить среднее время ожидания поезда и дисперсию.

3. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_x(x) и вычислить вероятность .