Образец решения примера

Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. исследуется формализация рассуждений? Это разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Основное неопределяемое понятие математической логики это высказывание. Под высказыванием понимают предложение, которое может принимать только два значения «истина» или «ложь». Обозначаются высказывания малыми латинскими буквами: a, b, ,…,х,…. или большими латинскими буквами A, B, C…

В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь». Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.

Исчисление высказываний – вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями.

Предикат – логическая функция от п переменных, которая принимает значения истинности или ложности.

Исчисление предикатов – раздел математической логики, объектом которого является дальнейшее изучение и обобщение исчисления высказываний.

Теория булевых алгебр (булевых функций) положена в основу точных методов анализа и синтеза в теории переключательных схем при проектировании компьютерных систем.

Примеры.

1. «Река Кола впадает в Кольский залив» – высказывание (истинное).

2. «Число32 кратно 3» – высказывание (ложное).

3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.

4. «5х – 9 = 7» – не высказывание (неопределенное высказывание или высказывательная форма).

С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.

Основные логические операции над высказываниями.

Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается или Ø х (читается: «не х»).

Логические операции можно задавать при помощи таблиц истинности, показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для высказываний x и эта таблица имеет вид:

х

Конъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания х и y. Конъюнкция обозначается: х Ù y,или х & y (читается: «х и y»). Таблица истинности для х Ù y имеет вид:

Дизъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны. Дизъюнкция обозначается х Ú y (или x+y)(читается: «х или y»). Таблица истинности для х Ú y имеет вид:

Импликацией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно. Импликация обозначается: х ® y (читается: «х влечет y» или «из х следует y»). Высказывание х называется посылкой импликации, а высказывание y – следствием. Таблица истинности для х ® y имеет вид:

Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний х и y совпадают. Эквиваленция обозначается: х « y, или х ~ y (читается: «х эквивалентно y» или «х тогда и только тогда, когда y»). Таблица истинности для х « y имеет вид:

1.2. Алгебра Буля.

Законы алгебры Буля.

Коммутативные законы:

1. x Ù y º y Ù x;

2. x Ú y º y Ú x;

Ассоциативные законы:

1. x Ù (y Ù z) º (x Ù y) Ù z;

2. x Ú (y Ú z) º (x Ú y) Ú z;

Дистрибутивные законы:

1. x Ù (y Ú z) º (x Ù y) Ú (x Ù z);

2. x Ú (y Ù z) º (x Ú y) Ù (x Ú z);

Идемпотентные законы:

1. x Ù x º x;

2. x Ú x º x;

Законы логического сложения и умножения с 0 и 1:

1. x Ù 0 º 0;

2. x Ú 0 º x;

3. x Ù 1 º x;

4. x Ú 1 º 1;

Законы операции «черта»:

1. º x;

2. x Ú 0 º x;

3. x Ú 1 º 1;

4. Ù x º 0;

5. Ú x º 1;

Законы Де Моргана ( Augustus de Morgan (1806- 1871) — шотландский математик и логик; профессор математики в Университетском колледже Лондона):

1. ;

2. .

Сложением по модулю два (альтернативной дизъюнкцией, логи́ческим сложе́нием, исключа́ющим «ИЛИ», строгой дизъюнкцией) двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и yпринимают разные значения. Дизъюнкция обозначается х Å y (читается: «или х, или y»). Таблица истинности для х Å y имеет вид:

Стрелка Пирса – этоотрицание дизъюнкции.

Стрелка Пирса обозначается X ↓ Y. Читается «ни X, ни Y».

Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880—1881 г.г. Таблица истинности для стрелки Пирса имеет вид:

Штрих Шеффера – это отрицание конъюнкции.

Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г. (в отдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова)

Штрих Шеффера обозначается x|y , задаётся следующей таблицей истинности:

Формулами алгебры логики называются выражения, полученные из переменных x, y,… посредством применения логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, а также сами переменные, принимающие значения истинности высказываний x, y,….

Если в формулу алгебры логики вместо переменных x, y,… подставить конкретные высказывания, то получится высказывание, имеющее логическое значение «1» или «0».

Пример.

Высказывание x: «Волга впадает в Каспийское море» – истинное высказывание y: «Число 16 кратно 3» – ложное (y = 0), тогда формула А = x Ú y будет иметь логическое значение «1»: А = 1 (см. таблицу истинности для х Ú y).

На основе таблиц истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для различных формул алгебры логики.

Две формулы алгебры логики называются равносильными или эквивалентными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы переменных (элементарных высказываний). Равносильность формул будем обозначать знаком «º».

Равносильность логических формул можно установить при помощи их таблиц истинности.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли равносильными формулы и .

Решение. Составим таблицы истинности для каждой из формул А и В.

x	y			Ù

x	y		x Ú y

Ответ: данные формулы являются равносильными.

Другой способ доказательства равносильности логических формул – их упрощение с использованием равносильных преобразований.

2. Выражения одних логических операций через другие:

1) x ® y º Ú y; 2) ;

3) x « y º (x ® y) Ù (y ® x); 4) .

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: Сначала выполняем действия в скобках, затем отрицание, затем выполняется конъюнкция. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

Пример. Упростить логическую формулу: .

Решение. Используем основные равносильности.

.

Ответ: x Ú y.

Задания для практической работы:

Вариант 1

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

Вариант 2

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

Вариант 3

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

Вариант 4

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

Вариант 5

1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 6

1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 7

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

Вариант 8

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 9

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

=1

Вариант 10

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

=0

Вариант 11

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

и

3.Решить булево уравнение:

=0

Вариант 12

1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 13

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 14

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение:

Вариант 15

1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:

2.Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

3.Решить булево уравнение: