Свойства операции сложения матриц
Определители
Определение 1.1. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка . (1.1) Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А (или определителем матрицы А) называется число которое обозначается одним из следующих символов:
Элементы матрицы А из (1.1) называются также элементами . Элементы образуют главную диагональ этого определителя, а элементы его побочную диагональ. Правило Саррюса. Определитель 3-го порядка равен сумме произве-дений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумма произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (рис.1а, б). Пример 1.1.Найти определитель матрицы А = . ► Вычислим определитель по правилу Саррюса. .◄ Понятие определителя п-го порядка вводится индуктивно. Предположим, что введено понятие определителя для квадратной матрицы k-го порядка, , как функции, ставящей в соответствие этой матрице некоторое вещественное число. Рассмотрим квадратную матрицу п-го порядка . (1.2) Если из матрицы А удалить элементы i-й строки и j-го столбца, , то получим квадратную матрицу го порядка, существование определителя у которой предположено выше. Назовем этот определитель минором (дополнительным минором) элемента матрицы А, находящегося на пересечении i-й строки и j-го столбца. Минор элемента будем обозначать . Алгебраическим дополнением элемента назовем число . Определение 1.2. Определителем п-го порядка, соответствующим матрице А из (1.2), называется число, равное и обозначаемое одним из символов: . Свойства определителя п-го порядка 1. Если матрица А из (1.2) содержит две одинаковых строки (или столбца), то . 2. Если элементы какой-либо строки (или столбца) матрицы А являются суммами двух слагаемых, то , где
3.Общий множитель элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы А можно выносить за знак определителя. 4. , где А – матрица из (1.2), а матрица, полученная из А заменой строк на столбцы, то есть . Замечание 2.1. Замена строк столбцами называется операцией транспонирования матрицы, а сама матрица называется транспонированной по отношению к матрице А. 5.Определитель единичной матрицы равен 1. 6. При перестановке двух любых строк (или столбцов) в матрице А из (1.2) для полученной матрицы справедливо равенство . 7. Определитель матрицы А не меняется, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Теорема1.1(о разложении определителя п-го порядка по элементам какой-либо строки или столбца). Определитель матрицы А из (1.2) равен сумме произведений элементов его любого столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Замечание 1.2. Определители n-го порядка можно вычислять, например, с помощью теоремы 1.1, сводя их к определителям более низкого порядка, или при помощи свойств определителя. При этом с помощью элементарных преобразований (см. свойства 3, 6, 7) определитель приводят к верхнему треугольному виду: , (1.3) из теоремы 1.1 следует, что , то есть определитель из (1.3) равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали. Пример 1.2. Вычислить определитель . ►Способ 1. Вычислим определитель Δ, используя разложение по третьей строке: Получающиеся при разложении определители третьего порядка можно вычислить, например, по правилу Саррюса. Способ 2. Вычислим определитель Δ, приведя его к верхней треугольной форме, используя свойства определителя. Для этого выполним следующие преобразования: q Из второй, третьей и четвертой строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3, 1, 2: . q Переставим вторую и четвертую строки, при этом определитель по-меняет знак: . q К третьей строке полученного определителя прибавим вторую, а из последней строки вычтем вторую, умноженную на 3: . q К третьему столбцу прибавим последний, умноженный на 3: . q Переставим две последние строки: . q Из последней строки вычтем третью, умноженную на 26: . q Полученный в результате определитель является определителем от верхней треугольной матрицы, он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: ◄
§2. Действия с матрицами
Определение 2.1.Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, обозначаемая следующим образом: .
Матрица А содержит т строк и п столбцов. Говорят, что она имеет размер , для неё принято также обозначение .
Определение 2.2.Суммой двух матрицА и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой есть суммы соответствующих элементов матриц слагаемых, то есть
Принято обозначение , поэтому, если , то .
Свойства операции сложения матриц 1. – коммутативность (переместительный закон) сложения. 2. – ассоциативность (сочетательный закон) сложения.
Определение 2.3.Произведением матрицы А на вещественное число λ называется матрица того же размера, обозначаемая , элементы которой есть произведения соответствующих элементов матрицы А на это число λ.
Таким образом, . Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами Пример 2.1.Даны две матрицы: А и В. Найти матрицу , еслиA = , B = , Е – единичная матрица. ► .◄ Определение 2.4.Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица С размера , элемент которой , находящийся в i-ой строке и в j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В: .
Принято обозначение С=АВ. Рассмотрим частный случай произведения матрицы-строки на матрицу-столбец: и . Матрица имеет размер , причём её элемент . Таким образом, .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (378)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |