Закоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра

Матрицы и операции над ними.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Операции: сложение матриц

умножение матрицы на число

транспонирование

перемножение двух матриц

возведение в степень

 

Определители и их свойства.

Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число – определитель

Минор – определитель, получ если в исходной матрице вычеркнуть строку и столбец, на пересеч к-ых находится этот элемент

Теорема о разложении определителя по элементам строки: определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнители

Алгебраические дополнители:

Свойства определителей:

· При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится

· Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

· Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

· Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

· Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

· Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

· Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Общий вид СЛАУ:

 

Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

Метод Крамера: , столбец с номером j,

1сл: если ∆≠0, то единственное решение

- формула Крамера

2сл: если ∆=0 и все =0, то бесконечно много решений

3сл: если ∆=0, но хотя бы один ≠0, то нет решений, или система несовместна

Метод Гаусса:

· составить расширенную матрицу системы,

· путем преобразований привести матрицу к ступенчатому виду,

· определить ранг начальной матрицы и итоговой:

если r(A)=r(A|B), то матрица совместна и есть решения

если r(A)≠r(A|B), то матрица несовместна, => решений нет

 

 

Квадратичные формы и их матрицы.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

– по главной диагонали расп числа при квадратах

– на побочных диагоналях расп половины коэффициентов при произведениях

,

=> А=

 

Закоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра.

Кв-я форма может быть: положительно- или отрицательно- определенной, или не быть знакоопределенной; Для того, чтобы кв-я форма была положит-/отрицат- определенной, необходимо, чтобы все соотв значения матрицы А были положит/отрицат

Критерий Сильвестра: главные (угловые) миноры кв-ой матрицы:

· если все Mj>0, то положит определенная

· если <0, >0, <0 (чередуются, начиная с <), то отрицат определеная

· если не выполняются ни 1-е, ни 2-е условия, то форма не явл знакоопределенной

 

Прямая на плоскости.

ü Общее ур-ние прямой: Ах+Ву+С=0, где А и В ≠0 одновременно,

ü Ур-ние прямой «в отрезках»:

ü , где a≠0 и b≠0

ü Ур-ние пучка прямых: у- =k(x- )

ü Угол между двумя прямыми: tgɥ=| |

– усл || двух прямых: = (пр-е ||, если их угл коэф равны)

– усл ⊥ двух прямых:

ü Ур-е прямой, проход через заданную точку, ⊥ -M( , n(A, B): - )+B(y- )=0

ü Каноническое ур-е: M( , γ(l, m) - (направляющий вектор ||):

ü Ур-е прямой, проход через две точки:

ü Расстояние от точки до прямой: , L:Ax+By+C=0;