Часть 1. Теория Аукционов

Тема 1. Аукционы с частными оценками стоимости:

Содержание: Цели проведения аукционов. Четыре стандартных аукциона. Примеры. Понятия эффективности и оптимальности аукционов. Модель с частными оценками стоимости. Вывод оптимальной стратегии в аукционах первой и второй цены с частными оценками. Подсчет ожидаемого дохода продавца.

Основные понятия и результаты:

Аукцион – механизм распределения объекта (товара, услуги) между покупателями, если его истинная стоимость не известна продавцу.

Четыре стандартных аукциона:

Английский аукцион: В английском аукционе продавец называет стартовую цену, участники делают ставки, последовательно повышая цену продажи объекта. Если нет больше желающих повысить текущую ставку, то участник, сделавший последнюю ставку, получает объект по цене последней ставки.

Голландский аукцион: В голландском аукционе торг начинается с очень высокой цены, которая постепенно снижается продавцом. Участник, желающий купить объект по текущей цене, сигнализирует об этом. Первый участник, подавший сигнал, получает объект по текущей цене.

Закрытый аукцион первой цены: Все участники аукциона подают свои ставки в запечатанных конвертах. Участник, предложивший максимальную ставку, получает объект и платит цену, равную своей ставке.

Закрытый аукцион второй цены (аукцион Викри): Все участники аукциона подают свои ставки в запечатанных конвертах. Участник, предложивший максимальную ставку, получает объект и платит цену, равную второй сверху ставке, т.е. ставке ближайшего конкурента.

Предположения о характере информации, которой обладают участники аукциона, и влиянии этой информации на ценность объекта для покупателей, определяют стратегии покупателей.

Пусть в аукционе участвуют N агентов ( ), v_i– оценка стоимости объекта i-м участником, t_i – сигнал i-го участника о стоимости объекта.

Покупатели обладают частными, независимыми оценками стоимости объекта, если оценка каждого участника не зависит от оценок других покупателей, а зависит только от информации об объекте самого участника. В этом случае оценки всех покупателей v_i – независимые случайные величины.

Покупатели обладают чистой общей оценкой стоимости объекта (purecommonvalues), если действительная оценка стоимости одинакова для всех (стоимость месторождения) и не зависит от того, кто из участников получил тот или иной сигнал:

Покупатели обладают общими оценками стоимости объекта (common values), если оценка стоимости объекта каждого покупателя зависит не только его информации, но и от информации других участников аукциона, при этом собственная информация и информация других участников по-разному влияют на оценку:

Аукцион называется оптимальным, если он максимизирует ожидаемый доход продавца.

Аукцион называется эффективным, если в результате аукциона объект всегда достается участнику с наибольшей оценкой объекта. В этом случае достигается максимум общественного благосостояния.

Рассмотрим случай частных независимых оценок. Пусть все оценки v_i – независимые, одинаково распределенные случайные величины на отрезке [0,δ], F(x) – функция распределения этих случайных величин, f(x) – плотность распределения. Обозначим через Y_i – максимальную оценку всех участников кроме i:

Тогда, в силу независимости оценок, функция распределения этой случайной величины - , а плотность распределения

Утверждение. В модели с симметричными участниками с независимыми частными оценками равновесная стратегия i-го участника с оценкой v_i в закрытом аукционе первой цены определяется по формуле:

.

Утверждение. В модели с симметричными участниками с независимыми частными оценками слабо доминирующей стратегией i-го участника с оценкой v_i в закрытом аукционе второй цены является стратегия объявлять ставку, равную своей оценке:

Задачи для подготовки:

1.1. В модели частных оценок докажите, что стратегия делать ставку, равную оценке, является для участника слабо доминирующей, даже если совместное распределение оценок участников коррелировано.

1.2. Рассмотрите аукцион первой цены. В аукционе участвуют два покупателя с независимыми оценками θ_i, равномерно распределенными на отрезке [0,1]. Пусть резервная цена продавца равна 0.

a) Найдите оптимальные функции ставок участников, имеющие линейный вид: .

b) Найдите ожидаемый выигрыш продавца.

1.3. Рассмотрим аукцион между 2 участниками, имеющими частные независимые оценки распределенные в соответствии с функцией распределения F. На аукционе второй цены, где платят все, участники одновременно подают заявки в запечатанных конвертах. Выигрывает участник с наибольшей ставкой, и оба участника платят вторую по величине ставку.

1) Найдите единственную функцию ставок в симметричном равновесии.

2) Выше или ниже ставок в аукционе первой цены, где платят все, будут искомые ставки?

3) Найдите формулу для ожидаемого дохода продавца.

 

Литература по теме:

· Джейли, Рени, Микроэкономика, 2011, глава 9

· Klemperer, P, «Auctions: Theory and Practice”, Princeton University Press, (2004);

· V. Krishna, “Auction Theory”, 2010, Chapters 1,2.

 

Тема 2. Теорема об эквивалентности доходов

Содержание:Понятие эквивалентности аукционов. Эквивалентность английского аукциона и закрытого аукциона второй цены. Ожидаемый доход продавца в четырех стандартных аукционах. Теорема об эквивалентности доходов (ТЭД). Использование ТЭД для нахождения равновесных стратегий в аукционах.

Основные понятия и результаты:

Аукцион называется стандартным, если по правилам аукциона объект всегда переходит к участнику, сделавшему максимальную ставку.

Два аукциона эквивалентны, если в этих аукционах совпадают равновесные стратегии участников, цена продажи объекта, ожидаемые платежи покупателей и ожидаемый доход продавца.

Утверждение. В модели с частными независимыми оценками:

1. Голландский аукцион эквивалентен закрытому аукциону первой цены.

2. Английский аукцион эквивалентен закрытому аукциону второй цены.

Утверждение. В модели с независимыми частными оценками все четыре рассмотренных стандартных аукциона (голландский, английский, закрытые аукционы первой и второй цены) позволяют продавцу получить один и тот же ожидаемый доход:

.

Обозначим через - ожидаемый платеж игрока с оценкой x. Например, ожидаемый платеж игрока в закрытом аукционе первой цены равен

Теорема об эквивалентности дохода (ТЭД)

Пусть оценки участников: 1) частные, независимые; 2) одинаково распределенные; 3) все участники нейтральны к риску. Тогда в любом стандартном аукционе существует симметричное равновесие с возрастающими равновесными стратегиями участников, в котором ожидаемый платеж игрока с оценкой 0 равен нулю, позволяющее продавцу получить один и тот же ожидаемый доход.

Следствие. Пусть выполнены условия ТЭД, тогда независимо от формы аукциона ожидаемый платеж игрока с оценкой x равен

Задачи для подготовки:

2.1. Рассмотрим аукцион между N агентами с частными независимыми оценками, являющийся гибридом между закрытыми аукционами первой и второй цены. В этом аукционе побеждает участник, сделавший максимальную ставку, а его платеж равен выпуклой комбинации максимальной и второй сверху из сделанных ставок. Так, если побеждает i-ый участник, то он платит сумму . Воспользовавшись, и не воспользовавшись теоремой об эквивалентности доходов, найдите равновесную функцию ставок в симметричном равновесии, если оценки всех участников распределены в соответствии с функцией распределения F на отрезке [0,w].

 

2.2. Рассмотрим аукцион между N участниками, имеющими частные независимые оценки распределенные в соответствии с функцией распределения F. Аукцион устроен следующим образом: все участники одновременно подают заявки в запечатанных конвертах, участник с максимальной ставкой получает объект и ничего за это не платит, остальные участники выплачивают суммы, равные их ставкам.

1) Воспользуйтесь теоремой об эквивалентности доходов продавца для нахождения равновесной стратегии в симметричном равновесии для описанного выше аукциона.

2) Пусть оценки участников распределены в соответствии с , на промежутке [0,∞). Найдите функции ставок участников в симметричном равновесии для этого случая.

 

Литература по теме:

· Джейли, Рени, Микроэкономика, 2011, глава 9;

· V. Krishna, “Auction Theory”, 2010, Chapter 3;

· Riley, JG., WF Samuelson, “Optimal auctions”,- The American Economic Review, 1981.

Тема 3.Теорема об эквивалентности доходов: случаи нарушения условий теоремы (отсутствие нейтральности к риску, асимметрия между участниками)

Содержание: Аукционы первой и второй цены для участников-рискофобов (рискофилов): вывод равновесных стратегий в аукционах первой и второй цены. Сравнение ожидаемого дохода продавца в аукционах первой и второй цены. Асимметрия между участниками аукционов: условие на равновесные стратегии в аукционе первой цены, соотношение равновесных стратегий «слабых» и «сильных» участников в аукционе первой цены, неэффективность аукциона первой цены, поведение на аукционе второй цены.

Основные понятия и результаты

Рассмотрим аукцион между участниками рискофобами, т.е. участниками с вогнутыми функциями полезностями u(x): u(0)=0, u’(x)>0, u’’(x)<0. Для этого случая условия ТЭД не выполняются => закрытый аукцион первой цены и закрытый аукцион второй цены приносят разные ожидаемые доходы продавцу.

Утверждение. Пусть участники аукциона – рискофобы, чьи предпочтения описываются одной и той же функцией полезности В модели с частными, независимыми, симметричными оценками ожидаемый доход продавца в аукционе первой цены выше, чем в аукционе второй цены.

Объяснение. Для рискофоба потери в случае неполучения объекта при снижении ставки более болезненны, чем выигрыш от снижения платежа. Поэтому в аукционе первой цены ставка рискофоба будет выше, чем ставка агента нейтрального к риску с той же оценкой стоимости объекта:

Вследствие этого, ожидаемый доход продавца в аукционе первой цены выше, если покупатели-рискофобы, а не нейтральны к риску.

В аукционе второй цены равновесная стратегия участников-рискофобов такая же, как в случае участников нейтральных к риску: Поэтому ожидаемый доход продавца не меняется (по сравнению со случаем нейтральных к риску участников).

 

Пусть участники аукциона асимметричны, т.е. их оценки получены из разных распределений. Рассмотрим случай N=2, .

Утверждение. В закрытом аукционе второй цены стратегия является слабо доминирующей, несмотря на наличие асимметрии.

Для закрытого аукциона первой цены не существует симметричного равновесия и единой формулы для оптимальной стратегии.

Обозначим через - обратную функцию к функции ставок j-го игрока, - распределение ставок j-го игрока. Пусть - максимальная ставка обоих участников.

 

Утверждение. Стратегии β₁, β₂ являются равновесными в асимметричном аукционе первой цены, если выполняются следующие условия:

Опр (*). Оценки участника 1 стохастически выше оценок участника 2, если и для любого выполняется: В этом случае участник 1 называется «сильным», участник 2 – «слабым».

Утверждение. Пусть оценки участника 1 стохастически выше оценок участника 2 в смысле определения (*). Тогда в закрытом аукционе первой цены «слабый» участник 2 делает ставки более агрессивно, чем сильный участник 1, т.е.:

 

Задачи для подготовки:

3.1. В аукционе участвуют 2 агента с частными независимыми оценками, равномерно распределенными на отрезке [0,1]. Участники аукциона являются рискофобами: их предпочтения заданы функцией полезности

1) Найдите функции ставок участников в симметричном равновесии в закрытых аукционах первой и второй цены.

2) Сравните ожидаемые доходы продавца в каждом из аукционов.

 

3.2. В аукционе участвуют N агентов с частными независимыми оценками. Функция распределения – квадратичная на [0,1]: Участники аукциона являются рискофилами: их предпочтения заданы функцией полезности Найдите функции ставок участников в симметричном равновесии в закрытых аукционах первой и второй цены. Сравните ожидаемые доходы продавца в каждом из аукционов.

 

3.3.В аукционе участвуют 2 агента с частными независимыми оценками. Оценка первого участника распределена в соответствии с функцией распределения на отрезке [1,3], а оценка 2-го участника – в соответствии с функцией на отрезке [0,3].

1) Покажите, что стратегии являются равновесными в аукционе первой цены.

2) Сравните ожидаемые выигрыши продавца в аукционе первой и второй цены.

3) Верно ли, что аукцион первой (второй) цены является эффективным? Почему?

 

Литература по теме:

· Джейли, Рени, Микроэкономика, 2011, глава 9

· V. Krishna, “Auction Theory”, 2010, Chapter 4.

Тема 4. Дизайн механизмов и поиск оптимального механизма продажи

Содержание: Определение индивидуально рационального и совместимого по стимулам прямого механизма продажи. Определение и вывод оптимального механизма продажи объекта. Эффективность оптимального механизма. Реализация оптимального механизма через четыре стандартных аукциона с резервными ценами

Основные понятия и результаты

Механизм продажи определяется совокупностью (B, π, μ), где B – множество возможных сообщений, - правило распределения объекта, - правило распределения выплат.

Механизм продажи прямой, если множество возможных сообщений B_i совпадает с множеством оценок X_i.

По принципу выявления можно ограничить рассмотрение прямыми механизмами, в которых каждый участник правдиво объявляет свою оценку. Поэтому далее будут рассматриваться прямые механизмы продажи (Q, M), где - правило распределение объекта, предписывающее с какой вероятностью каждый участник получает объект для , а - правило распределения выплат.

Пусть - вероятность i-го участника получить объект, объявляя оценку z_i, - ожидаемый платеж i-го участника при объявлении z_i, - ожидаемая полезность i-го участника с оценкой x_i, если он объявляет оценку z_i.

Прямой механизм (Q, M) совместим по стимулам, если для любого i и любого x_i функция достигает своего максимума по z_i в точке x_i, то есть при правдивом объявлении оценок.

Утверждение. Механизм прямой продажи (Q, M) совместим по стимулам тогда и только тогда, когда для любого участника i выполняются следующие два свойства:

1) не убывает по x_i.

2)

Прямой механизм (Q, M) индивидуально рационален, если в правдивом равновесии любой участник, независимо от его оценки x_i, получает неотрицательный ожидаемый выигрыш:

Механизм прямой продажи оптимален, если он позволяет получить продавцу максимальный ожидаемый доход, и при этом совместим по стимулам и индивидуально рационален.

Утверждение. Пусть N участников механизма имеют независимые частные оценки, причем функции виртуальных оценок строго возрастают по x_i для любого i. Тогда механизм прямой продажи (Q, M), удовлетворяющий свойствам:

приносит продавцу максимальный ожидаемый доход, т.е. является оптимальным.

Утверждение. Пусть N участников механизма имеют независимые частные оценки, полученные из одного и того же распределения с функцией распределения F(x), причем функция виртуальных оценок строго возрастает по x. Тогда аукцион второй цены с резервной ценой является оптимальным механизмом.

Оптимальный механизм не обязательно является эффективным. Неэффективность может возникать по двум причинам:

1) Продавец удерживает объект, если , при этом оценки x_i могут быть положительны.

2) В случае асимметричных участников распределение объекта может быть не эффективно, т.к. основывается на сравнении виртуальных оценок , а не реальных оценок x_i.

Задачи для подготовки:

4.1. Пусть оценки участников независимы и равномерно распределены на отрезке [1,2]. Постройте аукцион, максимизирующий доход продавца.

 

4.2. В аукционе участвуют 2 агента с частными независимыми оценками. Оценка первого участника равномерно распределена на отрезке [0,1+k], оценка второго участника равномерно распределена на отрезке [0,1-k], где .

1) Найдите оптимальный механизм, т.е. правило распределение объекта и правило осуществления выплат, при которых ожидаемый доход продавца максимален. Найдите ожидаемый доход продавца в оптимальном механизме.

2) Пусть продавец решил продать объект, используя закрытый аукцион второй цены с резервной ценой r. Найдите значение r, при котором ожидаемый доход продавца максимален.

3) Сравните правило распределения объекта в аукционе второй цены с правилом распределения объекта в оптимальном механизме. Верно ли, что один из игроков имеет преимущество в аукционе второй цены? В оптимальном механизме? Почему?

4) Сравните ожидаемые доходы продавца в двух рассматриваемых механизмах. В каком случае они совпадают?

4.3. В аукционе участвуют 2 агента с частными независимыми оценками. Оценка первого участника равномерно распределена на отрезке [0,1], оценка второго участника распределена в соответствии с функцией распределения на [0,1].

1) Найдите оптимальный механизм, т.е. правило распределение объекта и правило осуществления выплат, при которых ожидаемый доход продавца максимален. Найдите ожидаемый доход продавца в оптимальном механизме.

2) Сравните правило распределения объекта в обычном аукционе второй цены с правилом распределения объекта в оптимальном механизме. Какой из двух механизмов является эффективным? Почему?

3) Пусть продавец решил продать объект, используя закрытый аукцион второй цены с резервной ценой r. Найдите значение r, при котором ожидаемый доход продавца максимален. Сравните ожидаемые доходы продавца в аукционе второй цены с резервной ценой и в оптимальном механизме.

Литература по теме:

· Джейли, Рени, Микроэкономика, 2011, глава 9;

· V. Krishna, “Auction Theory”, 2010, Chapter5;

· Roger B. Myerson (1981), "Optimal Auction Design", Mathematics of Operations Research, 6 (1);

· Jeremy Bulow and John Roberts (1989), "The Simple Economics of Optimal Auctions", Journal of Political Economy 97 (5);

 

 

Тема 5. Аукционы с общими оценками стоимости.

Содержание: Понятие общих оценок стоимости. «Проклятие победителя». Отсутствие эквивалентности между английским аукционом и закрытым аукционом второй цены в модели с общими оценками. Вывод равновесных стратегий в закрытых аукционах первой и второй цены. Равновесная стратегия в английском аукционе. Сравнение ожидаемого дохода продавца в четырех стандартных аукционах в модели с общими оценками.

 

Основные понятия и результаты

Пусть - сигнал о стоимости объекта, имеющийся у участника i.

В модели с общими оценками стоимости оценка объекта i-ым участником зависит не только от его сигнала Х_i, но и от сигналов других участников:

Предполагаем, что:

1) сигнал каждого участника – несмещенная оценка стоимости объекта: ;

2) .

Проклятие победителя в модели с общими оценками возникает из-за того, что оценка объекта участником после того, как он узнал о своей победе в аукционе, ниже оценки, которая у него была изначально:

.

Тот факт, что участник победил, говорит о том, что этот участник переоценивал стоимость объекта по сравнению с другими покупателями. Чтобы скорректировать эффект проклятия победителя, участники аукционов с общими оценками должны понизить свои ставки.

В симметричной модели, которая будет рассматриваться далее, предполагается:

1. Все сигналы X_i получены из одного и того же распределения с функцией распределения F(x).

2. Оценки объекта каждым участником – симметричные функции собственного сигнала участника и сигналов других покупателей: для . При этом функция симметрична по последним N-1 аргументам.

Обозначим . Это ожидаемая оценка первого участника в том случае, если его сигнал равен x, а максимальный сигнал других участников - y.

Утверждение. В закрытом аукционе второй цены в симметричном равновесии участники играют стратегию

т.е. ставка равна оценке стоимости для случая, когда максимальный сигнал других участников равен собственному сигналу агента.

В модели с общими оценками английский аукцион не эквивалентен закрытому аукциону второй цены, так как выявленная в ходе английского аукциона информация влияет на стратегии игроков.

Стратегия в английском аукционе имеет вид: , где - цена, при которой участник с сигналом x выходит из игры, если в аукционе участвуют k игроков, а другие N-k игроков вышли при ценах .

Утверждение. Следующие стратегии являются равновесными в английском аукционе:

,

где x_k – значение сигнала, при котором участник выходит из аукциона с k участниками при цене p_k: .

Утверждение. В закрытом аукционе первой цены в симметричном равновесии участники играют стратегию , определяемую из уравнения:

где G(x|x)- функция распределения при условии X₁=x.

Утверждение. Если сигналы участников независимы, то продавец получает один и тот же ожидаемый доход в закрытых аукционах первой и второй цены.

Утверждение. Если сигналы участников аффилиированы (коррелированны), то ожидаемый доход продавца в английском аукционе превышает доход в закрытом аукционе второй цены, что в свою очередь больше ожидаемого дохода в аукционе первой цены.

Задачи для подготовки:

5.1. Рассмотрим аукцион между N участниками, имеющими общие оценки стоимости объекта. Пусть сигналы всех участников x_i – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Оценка стоимости объекта для каждого участника представима в виде функции:

1) Найдите равновесную стратегию участников в закрытом аукционе второй цены . Верно ли, что ставка каждого участника ниже его сигнала? Найдите ожидаемый платеж каждого участника при условии его выигрыша и ожидаемый доход продавца.

2) Найдите равновесную стратегию участников в закрытом аукционе первой цены . Сравните найденную оптимальную ставку с ожидаемым платежом участника в закрытом аукционе второй цены. Какой вывод можно сделать о размере ожидаемого дохода продавца в аукционе первой цены?

3) Найдите равновесную стратегию участников в английском аукционе. При какой цене в игре остается только один участник? Чему равен ожидаемый доход продавца в английском аукционе?

4) Верно ли утверждение теоремы об эквивалентности доходов в этой модели? Почему? В каких случаях в модели с общими оценками не выполняется теорема об эквивалентности доходов?

 

5.2. В модели с общими оценками в аукционе участвуют 3 агента. Сигналы о стоимости объекта x_i, получаемые агентами, - независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0,1]. Каждый агент наблюдает только свой сигнал, однако оценка стоимости объекта для агента i зависит от сигналов всех участников и выражается следующим образом:

.

Пусть перед аукционом участники получили сигналы: . Какие ставки будут делать участники в закрытом аукционе второй цены? В английском аукционе? По какой цене будет продан объект в каждом из случаев?

Литература по теме:

· Milgrom, P. and R., Weber, "A Theory of Auctions and Competitive Bidding", Econometrica 50 (5), (1982);

· Milgrom, P. and R., Weber, "The Value of Information in a Sealed-Bid Auction", Journal of Mathematical Economics, 10 (1), (1982);

· V. Krishna ,“Auction Theory”, Chapters 6, 7.

 

Вопросы и задачи для подготовки к экзамену по теме «Теория аукционов»:

Задача 1.

Рассмотрим аукцион между N участниками, имеющими частные независимые оценки объекта, равномерно распределенные на [0,1].

1) Покажите, что в симметричном равновесии в закрытом аукционе первой цены равновесной стратегией игроков с оценкой x является функция ставок а в закрытом аукционе второй цены -

 

2) Пусть агенты – рискофилы, чьи предпочтения описываются функцией полезности Как изменится для рискофилов равновесная функция ставок в аукционе первой цены? В аукционе второй цены? Вычислите равновесные стратегии. Какой из двух аукционов предпочтительнее для продавца? (без вычислений ожидаемого дохода)

 

3) Пусть как в п. 1) агенты нейтральны к риску, а N=2. Рассмотрим следующую модификацию аукциона второй цены. Участники подают ставки в запечатанных конвертах. Игрок, сделавший максимальную ставку, получает объект. Цена объекта равна второй по величине ставке. После установления победителя организатор аукциона подбрасывает монетку. Если выпадает «орел», то указанную выше сумму выплачивает победитель, если «решка», то платит проигравший.

Воспользовавшись теоремой об эквивалентности дохода, найдите равновесную стратегию в симметричном равновесии для этого аукциона.

 

Задача 2.

Рассмотрим аукцион с двумя потенциальными покупателями, имеющими частные независимые оценки. Функция распределения оценок обоих участников – квадратичная на [0,1]:

1) Найдите оптимальный аукцион, т.е. аукцион, максимизирующий ожидаемый доход продавца.

2) Подсчитайте, с какой вероятностью в этом оптимальном аукционе объект остается у продавца. Изобразите графически, при каких значениях оценок объект переходит к первому или второму участнику.

3) Найдите ожидаемый платеж каждого покупателя и ожидаемый доход продавца в оптимальном аукционе.

4) Пусть функция распределения оценки первого участника квадратичная, а оценка второго участника распределена равномерно на [0,1]. Найдите оптимальный механизм (т.е. правило распределение объекта и правило выплат для этого случая. Изобразите графически. Каким образом можно реализовать данный оптимальный механизм?

 

Задача 3.

Рассмотрим аукцион между двумя участниками, имеющими частные независимые оценки объекта. Функция распределения оценок - степенная на [0,1]:

1) Найдите равновесную функцию ставок в аукционе первой цены.

2) Воспользовавшись теоремой об эквивалентности дохода, найдите ожидаемый платеж игрока с оценкой x. Найдите ожидаемый доход продавца. Верно ли, что ожидаемый доход продавца в английском аукционе будет таким же?

3) Найдите оптимальную резервную цену в аукционе второй цены.

4) Найдите оптимальный прямой механизм продажи. Сравните с результатами предыдущего пункта.

 

Задание 4.

Рассмотрим аукцион между N участниками, имеющими частные независимые оценки объекта, равномерно распределенные на [0,1].Сравним поведение игроков в модели с частными оценками с поведением в модели с общими оценками стоимости. Пусть сигналы всех участников x_i – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Оценка стоимости объекта для каждого участника равна среднему арифметическому сигналов всех участников: Найдите равновесную стратегию участников в закрытом аукционе второй цены . При каких значениях N равновесная ставка игрока в модели с общими оценками совпадает с равновесной ставкой в аукционе с частными оценками? При каких N ставка в модели с общими оценками ниже? Дайте простое интуитивное объяснение этому факту (нужно вспомнить особенности модели с общими оценками стоимости).

 

Вопросы для повторения:

 

1) Какой из двух стандартных аукционов – закрытый аукцион первой цены или закрытый аукцион второй цены – лучше использовать с точки зрения продавца? С точки зрения общественных интересов? Как это связано с понятиями эффективности и оптимальности?

2) Верно ли, что если участники аукциона асимметричны, то оптимальный механизм всегда не эффективен? Объясните.

3) Если участники аукциона – рискофобы, условия теоремы об эквивалентности дохода не выполняются. Какой из четырех стандартных аукционов позволяет продавцу получить наибольший ожидаемый доход в этом случае? Дайте интуитивное объяснение с точки зрения выбора оптимальной стратегии участника-рискофоба.

4) Рассмотрим аукцион между двумя асимметричными участниками: оценки объекта «сильного» участника стохастически выше оценок «слабого участника». Объясните интуитивно, почему в равновесии «слабый» участник делает ставки более агрессивно, чем «сильный».

5) Верно ли, что поведение участников аукциона в модели с общими оценками принципиальным образом отличается от поведения в случае частных оценок? В чем состоят различия и сходства? Объясните.

6) С какими трудностями сталкиваются организаторы аукционов на практике? Опишите преимущества и недостатки английского аукциона и закрытых аукционов первой (второй) цены.