Представление чисел в ЭВМ

Лабораторная работа № 2

Тема: Представление чисел в ЭВМ, кодирование символов.

Цель работы. Изучить способы представления чисел и нечисловой (символьной) информации в памяти компьютера.

Теоретические предпосылки.В ЭВМ любая информация может быть записана строкой бит (0 и 1), причем длина строки (nбит)фиксирована. Разрядная сетка, т.е. количество разрядов (n), отведенных для записи числа, бывает 8, 16, 32, 64. Очень важным является то, что количество цифр (разрядов) при записи чисел в ЭВМ ограничено.

Представление чисел в ЭВМ

В ЭВМ числа могут представляться в форме с фиксированной точкой (запятой) и плавающей точкой (запятой). Форма записи числа с фиксированной точкой применяется в основном для множества целых чисел (считается, что точка расположена после самого младшего разряда). Пример: 53 0000...053

Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы и порядка. Любое число можно представить как N = m•q^p, гдеm – мантисса,q – основание СС (целое число), р – порядок числа (целое число). Для записи очень больших или очень малых чисел, например в физике, пользуются записью вида - a•10^b (заряд электрона е=1,6•10^–19Кул). Представление числа с плавающей запятой исключает эту самую запятую выбором порядка р (b) так, чтобы мантисса была меньше единицы. Следовательно, мантисса – дробное число, меньшее единицы. Если в мантиссе после точки следует цифра отличная от нуля, то число называется нормализованным.

В ЭВМ нормализованные числа в форме с плавающей точкой представляются двумя группами цифр, одна группа характеризует мантиссу, а другая - порядок. Обе группы цифр имеют соответствующие знаки (+ или - ). При одном и том же количестве разрядов, отведенных в разрядной сетке для записи чисел, диапазон чисел с плавающей точкой гораздо шире, чем диапазон чисел с фиксированной точкой.

Для внутреннего представления чисел используются прямой, обратный, дополнительный коды. Пусть Х – двоичное число, n – количество разрядов для целой части; m – количество разрядов для представления дробной части; k = 1 – количество разрядов для знака.

X = s a_n-1 a_n-2…a₁ a₀ a_-1 a_-2 …a_-m, где s – знак числа.

Прямым кодом [X]_пр^k числа Х называется целое (n+m+k) –разрядное число:

0 a_n-1 a_n-2…a₁ a₀ a_-1 a_-2 …a_-m , если хі 0

[X]_пр^k = 1 a_n-1 a_n-2…a₁ a₀ a_-1 a_-2 …a_-m, если х< 0

Пусть n=4, m=5, тогда прямые коды:

[0001,10101] _пр= 0 0001 10101 [-0010,11011] _пр= 1 0010 11011

Обратным кодом [X]_обр^k числа Х называется целое (n+m+k) –разрядное число:

0 a_n-1 a_n-2…a₁ a₀ a_-1 a_-2 …a_-m ,

[X]_обр.^k = 0 b_n-1 b_n-2…b₁ b₀ b-₁ b_-2 …b_-m,

b_i = 1 - a_iинвертированное значение каждого бита.

Пусть n=4, m=5, тогда обратные коды:

[0001,10101]_пр = 0 0001 10101 [-0010,11011] _обр = 1 1101 00100

Внимание! Знак числа не инвертируется.

Дополнительный код числа (для отрицательных чисел) получается прибавлением к обратному коду отрицательного числа единицы младшего разряда.

Пусть n=4, m=5, тогда дополнительные коды:

[-0010,11011] 1 1101 00100_обр 1 1101 00101_доп

Рассмотрим операцию вычитания двоичных чисел (n=3, m=0), представив вычитаемое как отрицательное число в дополнительном коде: 5 - 2 =3; 5₁₀ 0101₂, 2₁₀ 0010₂, –2₁₀ 1110₂ (дополнительный код), складываем 5+(–2), 0101 ⁺ 1110 в полученном результате «отсекаем» лишний левый бит 1|0011 3₁₀ Из примера видно, что для чисел, представленных таким образом, операция вычитания заменяется сложением.

Форма записи чисел с плавающей точкой определяет точность, с которой представлены числа. Допустим, мантисса содержит 5 цифр, тогда всякое число не более, чем с пятью цифрами, можно представить точно, а все остальные - только приближенно. Наличие погрешности имеет следствие: нельзя предполагать точное равенство любых двух чисел с плавающей точкой. Например, два числа в условиях точной арифметики, равные 1,2 в ЭВМ фактически могут превратиться в 1,2001 и 1,1999 и тем самым перестать совпадать. Следует отметить, что перевод чисел из обычной (десятичной) СС в машинную (двоичную) во многих случаях приводит к искажению числа.