Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений
Методы решения систем уравнений
I. Метод обратной матрицы (матричный метод). Пример 1. Решить систему матричным методом . Решение:Для данной системы: матрица системы , матрицы-столбцы свободных членов и неизвестных . Для нахождения решения по формуле (2.6), необходимо найти для матрицы обратную, которая уже найдена в примере 11 темы 1: . Следовательно, решение = = . Итак, , или .
II. Метод Крамера (решение СЛУ по формулам Крамера).
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера . Решение:Для данной системы формулы Крамера (2.7) будут иметь вид: , где . Вычислим . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим все три , которые получаются из определителя заменой –го столбца столбцом свободных членов . ; ; . ; ; . Итак, . Полученное решение совпадает с решением этой же системы матричным методом (пример 1). III. Метод Гаусса и Жордана-Гаусса. Решение системы методом обратной матрицы и по формулам Крамера часто оказывается трудоемкой задачей и применимо лишь когда , более универсальный и эффективный метод (легко реализуемый на компьютере) – метод Гаусса или метод Жордана-Гаусса. В основе этих методов лежат элементарные преобразования систем, в результате которых, из исходной системы уравнений получают эквивалентную ей систему специального вида, а именно: с матрицей треугольного (метод Гаусса) или диагонального (метод Жордана-Гаусса) вида. К элементарным преобразованиям систем относятся: 1) перестановка строк; 2) умножение всех элементов строки на число ; 3) прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число ; 4) исключение из матрицы нулевой строки. Замечание. Если в процессе преобразований получается строка, которой соответствует уравнение вида: , то система несовместна. Применяя эти методы, следует записать расширенную матрицу СЛУ и с помощью элементарных преобразований привести матрицу системы к треугольному виду (метод Гаусса), где все элементы ниже главной диагонали станут нулевыми. Затем записать СЛУ и с помощью так называемого «обратного хода» найти неизвестные. А именно: из последнего уравнения определяют неизвестное. Найденное значение подставляют в предыдущее уравнение и решают его, и т.д. продолжают находить все неизвестные СЛУ. Преобразовывая расширенную матрицу системы по методу Жордана-Гаусса, добиваются того, чтобы матрица СЛУ имела диагональный вид. Далее записывают СЛУ по преобразованной матрице, и все неизвестные будут определены.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (309)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |