Состояние объекта - это качественная его характеристика в заданный момент времени, оцениваемая определенными количествен-ными значениями набора некоторых его свойств

В общем случае оценки характеристик, определяющих состояние объекта, являются какими-либо выходными переменными факторами, под которыми понимаются его «потребительские» свойства.

Примеров известных нам всем математических моделей можно привести много. Вот некоторые из них: математическая запись второго закона механики, закон Кирхгофа, закон Ома, закон, описывающий состояние идеального газа – характеристическое уравнение Клайперона

pv=RT,

где R тоже характеристика газа (газовая постоянная), и многие другие.

Свойства объекта в целом «измеряются» уровнем входящих в подобные ММ отдельных характеристик, изменение которых и свидетельствует об изменении состояния.

В наиболее знакомой нам области науки (теплотехнике) такими характеристиками для объекта, каковым являются идеальный газ, будут давление р и удельный объем газа v, а такжеабсолютная температура газа T. Изменение хотя бы одной из них изменяет свойства объекта: сжатый газ способен совершать работу, нагретый в свободном состоянии – высушивать какое-нибудь сырье.

Все названные характеристики объекта – газа (и любого другого),

способные изменить его состояние, называются переменными (величинами). Категория переменных является составной частью операндов ММ. В них входят также параметры и константы,к которым относятся величины, учитывающие природные свойства объекта. В нашем примере к константам относится универсальная газовая постоянная, R .Внутренние природные свойства объекта не всегда остаются постоянными: они могут меняться с изменением условий существования объекта и даже быть какой-то их функцией. Такие свойства называются параметрами.

Переход из одного состояния в другое определяется условиями, в которых находится объект.

В общем случае объект может характеризоваться любым числом переменных. В зависимости от поставленных составителем математической модели целей используются или учитываются те из них, которые являются значащими.

В природе почти все процессы инерционны, т.е. происходят во времени, поэтому переход объекта из одного состояния в другое может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

(2.1)

где х₁,…,x_n – переменные величины, характеризующие состояние объекта; Р - характеристики самого объекта (параметры и константы); F- характеристики условий, в которых производится изменение состояний.

Функциональные зависимости ψ₁,ψ₂,...,ψ_n представляют собой закономерности, связывающие отдельные состояния объекта между собой. В такой записи они выражают скорости изменения переменных при переходе объекта из одного состояния в другое. В общем случае эти зависимости являются частными видами отношений, которые могут устанавливаться между элементами математического множества (состояний).

Рис 1.1 Управляемая система

По своему функциональному назначению переменные могут быть разделены на группы на основании общей (комплексной) управляемой системы (рисунок 2.1):

Рисунок 2.1 Управляемая система

Переменные, характеризующие состояние объекта, несут функциональную нагрузку, и с этой точки зрения они подразделяются:

· на выходные переменные x₁(t), x₂(t), …x_n(t), отражающие основные стороны поведения системы [вектор Х (t)];

· переменные управления r₁(t), r₂(t), …r_ℓ(t), отражающие воздействия со стороны управляющей части (например, регулятора двигателя внутреннего сгорания - вектор R (t));

· возмущающие воздействия f₁(t), f₂(t), …f_к(t), действующие со стороны внешней среды (вектор F (t));

· переменные воздействия на управляющее устройство n₁(t),n₂(t),... n_р(t), являющиеся помехами в регулирующем устройстве или какой-то дополнительной информацией о возмущениях F, попадающей непосредственно в управляющее устройство (вектор N (t));

· наблюдаемые переменные y₁(t), y₂(t),...y_m(t) - некоторые характеристики выходных переменных, определяемые целью регулирования (вектор У(t)).

Общий вид ММ управляемой системы включает три группы дифференциальных уравнений:

1) связи вектора переменных, включающих, кроме самих переменных, воздействия и их производные, Х₀ (t),и таких же векторов управления и возмущающих воздействий ( R₀ (t) , F₀ (t);

2) связи вектора управления R₀ (t) с векторами переменных воздействия N₀ (t) и наблюдаемых переменных У₀(t) при действующем законе управления g;

3) связи вектора наблюдаемых переменных У₀(t)c выходными переменными (с результатом действия регулятора).

Математическая модель в самом общем случае представляется системой дифференциальных уравнений

 

Х(Х₀)=Φ (R₀,F₀),

R(R₀)=P(y₀,N₀,g), (2.2)

У₀=cХ₀.

 

Каждой ММ свойственна область существования. Она может быть непрерывной и дискретной. Непрерывная область характеризуется бесконечно малым изменением свойств объекта в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Дискретная – резким изменением в некоторых переходных точках (примеры: переход воды из твердого состояния в жидкое, а потом в парообразное; взрыв урановых материалов при достижении критической массы).

Качественные характеристики иногда плохо описываются количественно. Для перевода качественных характеристик (это обычно нечеткие оценки свойств объекта) в фиксированные количественные показатели используется кодирование их натуральными числами. Примеры таких шкал кодирования – шкала предпочтения Заде (таблица 2.1) и шкала Харрингтона (таблица 2.2).

 

Таблица 2.1 Шкала кодирования предпочтения Заде

Численность оценки	Оценка	Пояснения
	Отсутствие предпочтений	Два объекта дают равный вклад в цель
	Слабое предпочтение	Оценка слегка в пользу одного из объектов
	Сильное предпочтение	Оценка существенно в пользу одного из объектов
	Очень сильное предпочтение	Один объект сильно доминирует над другим
	Абсолютное предпочтение	Очевидна высшая степень предпочтения
2,4,6,8	Промежуточные оценки	Необходим компромисс

 

 

Таблица 2.2 Шкала желательности Харрингтона

Желательность	Отметки на шкале
Очень хорошо	1,00...0,80
Хорошо	0,80...0,63
Удовлетворительно	0,63...0,37
Плохо	0,37...0,20