Классификация математических моделей, области их применения

Классификация математических моделей производится по разным признакам, поэтому она не единственна. При этом некоторые математические модели попадают в различных классификациях в различные группы, а количество классов достигает 32. По нашему мнению, наиболее емкая классификация ММ приведена в книге В.В. Налимова.

Она составлена на основании подходов к созданию моделей плохо организованных (диффузных) систем, под которыми понимаются сложные системы, поведение которых определяется множеством меняющихся факторов и в которых нельзя четко выделить отдельные явления. К таким системам относятся все технологические процессы. Еще в большей мере к ним относятся системы, в которых неизвестны закономерности протекающих в них элементарных процессов (например, интеллект человека).

В этой классификации ММ представлены четырьмя группами:

1. Эскизные модели, задаваемые дифференциальными уравнениями. В них производится описание отдельных, наиболее существенных явлений, протекающих в сложном объекте. Без внимания оставляются другие процессы и взаимодействия с ними основных явлений. Изящество представления таких моделей в значительной мере перекликается с их относительной простотой, но модель должна быть не только изящна, но и содержательна. Содержательность ММ состоит в объяснении множества уже известных фактов, в выявлении новых, незамеченных явлений, в предсказании дальнейшего развития объекта и в выдвижении новых проблем перед исследователями.

Использование дифференциальных уравнений при составлении эскизных ММ связано с возможностью лучшего предметного толкования изучаемых явлений. Например, экономисты оценивают сложность управления предприятий отрасли квадратичной зависимостью y=kx², что может вызвать недоумение, почему квадратичной, а не кубичной. Для этого вполне достаточно записать ее в дифференциальном виде dy=xdx, так как с точки зрения здравого смысла вполне понятно, что приращение сложности будет пропорционально числу уже действующих предприятий. Точно также можно оценить скорость роста числа научных публикаций во времени dy=kydt. Если в атомной физике такая зависимость при изучении излучения отражает четкую закономерность, то в нашем примере она – эскизное описание сложной системы, в некоторой степени оцениваемое названной статистической зависимостью. Экспериментальная проверка таких статистических оценок оказывается несостоятельной, так как всякий результат может быть объяснен особенностями условий, в которых опыты проводились. Однако, более сложные объекты, включающие названные проблемы при оценке их функционирования, дают приемлемые результаты оптимальных условий их существования.

Значение эскизных моделей особенно велико для углубления понимания поведения изучаемого объекта, сложной системы объектов специалистами, привыкшими «высматривать» структуру возникновения внутрисистемной связи за счет высокой степени общности языка математики, в том числе и такого ее раздела, как дифференциальные уравнения. С другой стороны, представителями гуманитарных наук такие внедрения математического осмысливания воспринимаются, как попытка заставить их мыслить не на родном языке.

2. Программные модели. Ими является совокупность программ для диффузного объекта, написанных для ЭВМ, имитирующих (воспроизводящих опять-таки не натурно, а опосредованно) деятельность человека при решении определенного класса интеллектуальных задач.

Составлены программы для игры в шахматы, шашки, программы для доказательства теорем математической логики планиметрии, программы для различных игр, интегрирования функций и т.д. Они ни в коей мере не опираются на перебор всех возможных комбинаций. С такой задачей не могут справиться даже самые современные ЭВМ. Все перечисленные программы строятся как эвристические, т.е. программы перебора с наложением некоторых ограничений.

Эвристичность их заключается как раз в названных ограничениях. Ограничения накладываются, исходя только из интуитивных соображений, подражая деятельности человеческого интеллекта, без строгого обоснования.

Основное отличие ЭВМ от человека состоит в возможности человека решать плохо сформулированные задачи: машине нужен однозначный математический язык, тогда, как человек использует естественный (полиморфный, почти многозначный, а вернее размытый, с нечеткими границами между понятиями) язык. Если бы удалось создать машинный язык с такими качествами, человечество значительно бы преуспело в создании искусственного интеллекта.

3. Комбинированные модели, представляемые дифференциальными уравнениями (и другими строго понимаемыми зависимостями).

Первые два типа ММ имеют познавательный характер. Создаются они для лучшего изучения структуры системы при проведении последующего осмысливания ее поведения.

Чаще всего ММ используются в чисто практических целях: для предсказания развития объекта в изменяющихся условиях с целью разработки управляющих воздействий. Вот эти модели и относятся к рассматриваемой группе. В экологии они используются при выборе стратегии борьбы с насекомыми-вредителями, при создании модели разумного ограничения лова ценных пород рыб, животных. Модели строятся на основании всестороннего анализа поведения сложной системы (конечно, по своей сути диффузной). Используются при этом результаты проведенных уже статистических исследований, ММ отдельных составляющих систему явлений, описывающих на базе известных закономерностей их развитие. В зависимости от назначения комбинированной модели в ней могут учитываться и экстраординарные ситуации (эпидемии, пожары, вырубка леса и т.д.). Построение таких моделей требует высокой адекватности ММ изучаемой системе, доказательство которой усложняется неполнотой знания, описывающего объект изучения.

4. Локально-интегральные (полиномиальные) модели. Такие ММ описывают сложные объекты, поведение которых определяется множеством факторов, их взаимодействием неизвестной природы, как некий «черный ящик», выходные параметры которого статистически связаны с выходными. Оценка этой статистической связи производится полиномом некоторой степени от входных факторов (регрессионным уравнением).

С познавательных позиций полиномиальные модели мало информативны: они не отражают закономерностей поведения объекта, поэтому они не могут способствовать совершенствованию внутренней структуры объекта. В практическом отношении полиномиальные модели оказываются полезными при решении экстремальных задач.

Математические модели разделяются ипо глубине проработки связей элементов модели: на функциональные и структурные.

1. Функциональные ММ отражают закономерности процессов функционирования объектов и являются обычно системой уравнений, описывающей либо электрические, тепловые, механические процессы, либо процессы преобразования информации.

2. Структурные ММ характеризуют только структурные свойства, учитывающие геометрическую форму, размеры, взаимное расположение элементов в пространстве, наличие связей, порядок выполнения работ и т.д.

Функциональные ММ, как правило, сложнее. При исследовании мало изученных систем, синтезировании сложных объектов начинают с создания структурных математических моделей, которые могут быть представлены в схемной форме.

По природе входных и выходных параметров ММ можно разделить на детерминистские и статистические (вероятностные, стохастические). Детерминистские ММ составляются на базе жестких причинно-следственных связей. При наличии достаточной информации о прошлом такой системы математические модели позволяют предсказать все ее будущее. Законы механики Ньютона имеют детерминистскую природу. Статистические ММописывают преобразования входных величин вероятностной природы. Независимо от количества имеющейся информации о прошлом в таких задачах результаты преобразования ее математической моделью могут предсказать только вероятности изменения изучаемых явлений в будущем.

В зависимости от цели исследования объекта производится классификация математических моделей по уровню абстракции, который определяет вид используемого математического аппарата.

Математические модели на микроуровне описывают физическое состояние и процессы в сплошных средах с помощью аппарата математической физики, например дифференциальных уравнений в частных производных электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Непременными элементами таких ММ являются краевые условия. В качестве переменных в микроуровневых моделях выступают электрические потенциалы, давления, температуры, плотности среды, токов, механические напряжения и деформации. Математические модели на макроуровне используются при дискретизации пространств на отдельные элементы, участки (детали механических систем, дискретные электро- и радиоэлементы, участки кристаллов). Функциональные свойства объектов записываются алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями. В качестве переменных в них фигурируют электронапряжения, механические силы, температуры, скорости, токи, расходы и т. д.

Математические модели на мегауровне абстрагируются от характера физических процессов и описывают приемлемые с практической точки зрения информационные процессы в реальном или синтезируемом объекте с помощью математического аппарата систем автоматического управления (аналоговые машины), математической логики, теории конечных автоматов, теории массового обслуживания.

Математические модели на мегауровне - это модели, относящиеся по классификации Налимова В.В. к эскизным и программным моделям. Они во многих случаях представляются в алгоритмической форме имитационного плана. Сложность формулирования таких задач при математическом моделировании заставляет привлекать к этому делу специалистов разного профиля и, конечно, в первую очередь математиков, занимающихся вопросами планирования операций.

Сложным классом систем с точки зрения теории математического моделирования являются, так называемые, системы массового обслуживания. К ним относятся любые системы, в которых существует один или несколько потоков материальных или информационных объектов, которые обрабатываются определенным способом. Реальными системами массового обслуживания являются, например: телефонные станции, билетные кассы, информационно-вычислительные системы, автозаправочные станции и им подобные. К системам массового обслуживания космических средств относятся центры и пункты управления космическими аппаратами, системы сбора и передачи данных, стартовые комплексы и много других технических и организационных систем. При исследовании и моделировании систем массового обслуживания в качестве основных параметров, характеризующих функционирование этих систем, обычно рассматривают временные показатели: время наступления некоторого события, интервалы времени между событиями, интенсивность событий и соответствующие этим величинам распределения вероятностей.