Рассмотрим таблицу истинности

А	В

1. Логическое произведение

Определение.Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться знаками ^ или &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Например, высказывание

“10 делится на 2 и 5 больше 3”

истинно, а высказывания

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 не больше 3”

ложны.

Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено ниже..

Таблица истинности

А	В

1. Импликация

Определение.Операция, выражаемая связками “если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ð. Высказывание А ð В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А ð В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А ðВ истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “если ..., то” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

“если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы”,
“если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин”.

А	В

1. Эквивалентность

Определение.Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком Û или ~ . Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”,
“23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3”

истинны, а высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”,
“21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3”

ложны.

Данные таблицы можно рассматривать как определение вышеупомянутых операций

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А ÛВ, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” ( ), “пингвины не живут в Антарктиде” ( ). Образованные из высказываний А, В составные высказывания AÛB и Û истинны, а высказывания AÛ и ÛB — ложны.

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А Û В = v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А Û В = ( v В) • ( v А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация.

Контрольные вопросы

1. Понятие алгебры логики
2. Определение логического высказывания, примеры
3. Таблица истинности
4. Операция отрицания, примеры, логическая схема и таблица истинности для отрицания
5. Логическое умножение, примеры, схема, таблица истинности
6. Логическое сложение, примеры, схема, таблица истинности
7. Логическое следствие, пример, схема, таблица истинности.
8. Эквивалентность, пример, схема, таблица истинности.