Восьмеричная система счисления

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь базисных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы – 8.

Например, десятичное число 180,5₁₀ в восьмеричной системе будет изображаться в виде 264,4₈. Если записать данное число в виде полинома (1), то получим

.

Шестнадцатеричная система счисления.

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления базисными являются числа от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F, соответствующих числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Например, десятичное число 2898₁₀ в шестнадцатеричной системе будет записываться в виде В52. Действительно, с учетом того, что В=11:

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (так называемая модель RGB).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Метод последовательного деления числа на основание системы счисления:

Применяется для преобразования десятичных чисел в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и другие системы счисления. Для перевода целого десятичного числа N необходимо выполнить следующие операции:

1) число N разделить на основание той системы счисления, в которую оно переводиться;

2) остаток является младшим разрядом числа в новой системе счисления;

3) частное снова делиться на основание системы;

4) остаток является следующим разрядом числа в новой системе счисления;

5) операции 3) и 4) повторяются до тех, пока частное не останется равным нулю.

Пример № 3. перевести число 763 в двоичную систему счисления

Метод последовательного умножения числа на основание системы счисления:

Применяется для преобразования чисел в десятичную систему счисления из других систем счисления. Правила состоят в следующем:

1) умножить цифру старшего разряда числа на основание этого же числа;

2) прибавить к полученному произведению следующую цифру;

3) умножить полученную сумму на прежне основание;

4) повторить операции 2) и 3);

5) закончить преобразование операцией 2), если цифра является младшим разрядом.

Пример № 4:

а) 100111100,1101₍₂₎ =2^-1×1 + 2^-2·1 + 2^-3×0 + 2^-4×1 + 2⁰×0 + 2¹×0 + 2²×1 + 2³×1 + 2⁴×1 + + 2⁵×1 + 2⁶×0 + 2⁷×0 + 2⁸×1 = 316,8125₍₁₀₎

б) 1233,5₍₈₎ = 5×8^-1 + 3×8⁰ + 3×8¹ + 2×8² + 1×8³ = 667,625₍₁₀₎

в) 2В3,F4₍₁₆₎.= 4×16^-2 + 15×16^-1 + 3×16⁰ + 11×16¹ + 2×16² = 691,953125 ₍₁₀₎

Правило перевода правильных дробей.

Переход из десятичной системы счисления выполняется путем последовательного умножения переводимой дроби на основание той системы счисления, в которую переводится дробь. При этом перемножается только дробные части. Получающиеся при умножении целые части, начиная с первой, образуют дробь в новой системе счисления.

Пример № 5.Перевести число 32,25₁₀ в двоичную систему.

Ответ: 100000,01

Пример № 6. Перевести число 203,82₍₁₀₎в двоичную систему.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную и обратно.

Для перехода от 8-й или 16-ой систем счисления к двоичной системе необходимо и достаточно каждую 8-ю или 16-ю цифру представить эквивалентным трехразрядным или четырехразрядным числом в двоичной системе счисления согласно таблице 1.1 или 1.2.

Таблица 1.1 – Двоично-восьмеричная таблица (Триады)

Таблица 1.2 – Двоично-шестнадцатеричная таблица (Тетрады)

Для перехода от двоичной системы счисления к восьмеричной необходимо: число в двоичной системе разбить справа налево целую часть и слева направо дробную часть на группу цифр по три (триады) или по четыре (тетрады). Каждую группу двоичных цифр необходимо заменить согласно таблице 1.1 или 1.2.

Таблица 1.3 – Сводная таблица