Двоичная система счисления

Лабораторная работа № 1.

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Цель: изучить позиционные и непозиционные системы счисления, получить навыки определения количества информации в конкретном сообщении; преобразования чисел из одной системы счисления в другую, а также выполнения основных математических операций с числами в различных системах счисления.

Основные теоретические положения и методика выполнения работы

Система счисления – это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

Основание системы счисления – количество символов (цифр), достаточных для записи числа.

Позиционная система счисления – такая система, в которой величина числа определяется позициями цифр, с помощью которых записывается число.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 – 1 = 9.

Далее будут рассматриваться только позиционные системы счисления.

Любое число N, целое или дробное, в позиционных системах счисления с основанием q можно представить в виде полинома (аналитическая функция - степенной многочлен):

(1.1)

где N– число в q-ичной системе счисления, q – основание системы счисления,

k – целые числа диапазона

Например, число десятичной системы счисления 173,65, представленное в виде полинома (1.1), будет иметь вид

.

Двоичная система счисления.

В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

· для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – ненамагничен);

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

Двоичная система счисления – это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичная система счисления это система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит (bit), ставшего названием разряда двоичного числа. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Произвольное число X в двоичной системе представляется в виде полинома (1.1): , где каждый коэффициент а, может быть либо 0, либо 1. Например:

1 = 1₂ - 1 × 2⁰ = 1

5 = 101₂ - 1 × 2² + 0 × 2¹ +1 × 2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5

9 = 1001₂ - 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 0 + 0 +1 = 9

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Таблица умножения для двоичных чисел:

Рассмотрим на примерах основные арифметические действия с двоичными числами.

Пример № 1.Найти сумму чисел 100101₂ и 1010₂.

Решение. Согласно таблице сложения двоичных чисел: .

Пример № 2.Найти произведение чисел 100101₂ и 101₂.

Решение. Согласно таблице умножения и сложения двоичных чисел: