Моделирование в процессе решения текстовых задач

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование».

Ранее мы установили, что текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т. е. построить ее математическую модель.

Математическая модель- это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.

Математической моделью текстовой задачи является выражение(либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение(либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и тематическими способами описываются связи между ними;

II этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение знамени» выражения, выполнение действий, решение уравнения);

IIIэтап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

«В одном вагоне электропоезд было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, т обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?».

Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором гоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне - 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х - 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно зяписать что 2х - 3 = х + 7. Получили уравнение – это математическая модель данной задачи.

Следующий этап - решение полученного уравнения вне зависимости того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую - не содержащие х, причем переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х - х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.

Последний, третий этап - используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом - 20 (10×2 = 20).

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. I этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.), они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1)рисунок;

2)условный рисунок;

3)чертеж;

4)схематичный чертеж (или просто схема).

«Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»

Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид (рис. 40).

Условный рисунок может быть таким, как на рисунке 41.

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений (рис. 42).

Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем указываются все данные и искомые (рис. 43).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:

21. Комбинаторная задача. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения и сочетания

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой

Комбинаторика возникла в ХVI веке и первоначально в ней рассматривались задачи, связанные с азартными играми.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы.