Текстовая задача: структура и способы решения. Основные этапы решения текстовых задач; моделирование
Математические предложения. Высказывания и высказывательные формы Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго. Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения: 1) число 12 – четное; 2) 2 + 5 > 8; 3) х + 5 = 8; 4) В числе 15 один десяток и 5 единиц; 5) От перестановки множителей произведение не изменяется; 6) Некоторые числа делятся на 3. Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное.
Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л». «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может. Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.
По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают: одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. Например, предложение «Прямая х параллельна прямой у» - двухместная. Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества Х. Множество Х – множество, из которого выбираются значения переменной. Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; ∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3. Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда Т⊂Х. Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями. В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» или словосочетание «неверно, что». Слова «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными. Приведем примеры составных предложений. 1) Число 28 четное и делится на 7. 2) Число х меньше или равно 8. 3) Число 14 не делится на 4. Эти предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые. Как определить значение истинности составного высказывания, например, «число 28 делится на 7 и на 9»? Значение истинности высказываний определяется с помощью определенных правил. Но для этого нужно уметь выявлять логическую структуру высказывания. Для этого нужно установить: 1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение; 2) с помощью каких логических связок оно образовано. Текстовая задача: структура и способы решения. Основные этапы решения текстовых задач; моделирование Текстовая задача - описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения. Структура раешения: Рассмотрим задачу из начального курса математики: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалась на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?» В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определенные утвержденияи требования. Утверждения: 1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти. 2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку. 3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер. Требования: 4.Сколько шерсти израсходовали на свитер? 5.Сколько шерсти израсходовали на шапку? 6.Сколько шерсти израсходовали на шарф? Утверждения задачи называют условием. В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи. Способы решения: Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. Решим, например, различными арифметическими способами такую задачу: «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м?» Способ 1) 4×3= 12 (м) - столько было ткани; 2) 12:2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить из 12 м ткани. Способ 1) 4:2 = 2 (раза) - во столько раз больше идет ткани на платье, чем на кофту; 2) 3× 2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами. Например, задачу о массе шерсти, израсходованной на свитер, шапку и шарф (с. 106), можно решить тремя различными способами. Способ Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х + 100) г, а на свитер ((х + 100) + 400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение х + (х + 100) + ((х + 100) + 400) = 1200. Выполнив преобразования, получим, что х = 200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф - 300 г, так как 200 + 100 = = 300, на свитер - 700 г, так как (200 + 100) + 400 = 700. Способ Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х - 100) г, а на свитер - (х+ 400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение: х + (х - 100) + (х + 400) = 1200. Выполнив преобразования, получим, что х = 300. Таким образом, если на шарф израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300 - 100 = 200), а на свитер 700 г (300 + 400 = 700). Способ Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х - 400) г, а на шапку (х - 400 - 100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение: х + (х - 400) + (х - 500) = 1200. Выполнив преобразования, получим, что х = 700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г (700 - 400 = 300), а на шапку - 200 г (700 - 400 - 100 = 200). Этапы решения задачи: Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы: 1. Анализ задачи. 2. Поиск плана решения задачи. 3. Осуществление плана решения задачи. 4. Проверка решения задачи. В реальном процессе решения задачи, названные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего. 1.Анализ задачи Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними. Анализ задачи всегда направлен на ее требования. Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать специальные вопросы и ответить на них: О чем задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идет речь в задаче, какими величинами характеризуется этот процесс? Что требуется найти в задаче? Что обозначают те или иные слова в тексте задачи? Что в задаче известно о названных величинах? Что неизвестно? Что является искомым? Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой прием -перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице. Построением схематического чертежа может быть завершен анализ задачи о массе шерсти, израсходованной на шапку, шарф и свитер. Для этого условимся массу шерсти, израсходованной на шапку, изобразить в виде отрезка произвольной длины. 2. Поиск и составление плана решения задачи План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. «На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?» Рассуждения ведем от данных к вопросу: известно, что 6 ч турист поехал на поезде, который шел со скоростью 56 км/ч; по этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч, - для этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно. Для этого пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием - расстояние, которое ему осталось проехать; третьим - весь путь. Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи. 3.Осуществление плана решения задачи Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом. Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы: - запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами); - запись в виде выражения. Приведем примеры различных записей плана решения задачи: «На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2397)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |