Теоретико-множественный смысл суммы

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с, удовлетворяющее условию b + с = а.

Выясним, каков смысл разности целых неотрицательных чисел, если рассматривать ее с теоретико-множественных позиций.

Рассмотрим множество В={c, d, e}. Пусть оно является подмножеством множества А={a, b, c, d, e}. Если удалить его из множества А, останется конечное множество А\B={a, b}. Полученное множество состоит из двух элементов. Таким образом, если n(A)=5, n(B)=3 и В А, то 5-3=2, где 2=n(A\B), т.е. разность чисел 5 и 3 является числом элементов в дополнении множества В до множества А. Аналогично обстоит дело и в общем случае.

Теорема.Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство п(А\В) = п(А) -п(В).

Доказательство. Множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А)=n(В)+n(А\В), откуда, по определе­нию вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) =n(А) - n(В).

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля,а также вычитание а из а. Так как А\Ø =А, А\А =Ø, то а-0=а и а-а=0.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций разность целых неотрицательных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, т.е. если а = n(А), b = n(В) и В А:

а - b = n(А) - n(В) = n (А\В), если BA, B≠A, B≠Ø.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество В - берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В А, то n(С) = n(А\В) = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Вопрос 3.

Теоретико-множественный смысл произведения на множестве натуральных чисел.

Теорема 4.

Если о > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а ▫ b. И, кроме того, положим, что а ▫ 1 = а. Тогда выражение а°(b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а ▫( b + 1) = а + а + ... + а + а. Сумму а + а + ... + а + а можно представить в виде

b + 1 слаг.

выражения (а + а + ... + а + а) + а , которое равно а ▫ b + а. Значит, операция а ▫ b обладает теми же свойствами, что и умножение, определен­ное в аксиоматической теории, а именно, а ▫ 1 = а и а ▫(b+1) = а ▫ b + а. В силу единственности умножения получаем, что

а ▫ b = а× b

Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а.

Умножение на I определяется так: а ×1 = а.

Если умножение рассматривается на множестве целых неотрица­тельных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - опре­деление умножения на нуль: а ×0 = 0.

Таким образом, получаем следующее определение умножения це­лых неотрицательных чисел.

Определение. Если а,b- целые неотрицательные числа, то произве­дением а×b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а × b = а + а + ... + а + а, если b > 1;

b слаг.

2) а× b = а, если b = 1;

3) а× b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множествен­ную трактовку. Если множества А₁, А₂, ..., Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объеди­нение А₁È А₂È ... ÈАb содержит а× b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций, а× b (b> 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по, а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а× b = n (А₁È А₂È ... ÈАb), если n(А₁) = n(А₂) =…= n(Аb) = а и множества попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, и каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.

Если n(а₁) = n(а₂) = n(а₃) = 4 и множества попарно не пересекаются, то n (А₁È А₂È А₃) = n(А₁) + n(А₂) + n(А₃) = 4+4+4 = 4×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4×3 = 12. то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5.Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство:

n(АхВ)= п(А)× п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = {а₁, а₂, ...,аn}, В = {b₁, b₂, ...,bk}, причем k > 1. Тогда множество А х В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ п, 1 £ j £ к. Разобьем множество АхВ на такие подмножества А₁, А₂, ... , Аk, что подмножество Аj состоит из пар вида (а₁, bj), (а₂. bj), ..., (аn, bj). Число таких подмножеств равно к, т.е. числуэлементов в множестве В. Каждое множество А_] состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно сумме к слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и к. Таким образом, равенство

п(АхВ) = п(А)× п(В) доказано при к > I. При к = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда АхВ состоит из пар вида (а₁, b), (а₂. b), ..., (аn, b), число которых равно n/ Поскольку п(А) = п, п(В)= 1, то и в этом случае имеем: n(АхВ)= п(А)× п(В) = п×1.

При к = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Æ и п(АхÆ) = п(А)× п(Æ) = п××0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а× b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п (А) = а, и п (В) =b.

а× b = п(А)× п(В) = п(АхВ).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоре­тико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а× b = b× а состоит в том, что хотя множества АхВ и ВхА различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множе­ства АхВ можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества ВхА, и каждая пара из множества ВхА сопоставляема только одной паре из множества АхВ. Значит, п(АхВ) = п (ВхЛ) и потому а× b = b× .

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ас­социативного свойства умножения. Множества Ах(ВхС) и (АхВ)хС различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества Ах(ВхС) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (АхВ)хС, и каждая пара из множества (АхВ)хС сопоставляется единственной паре из множества Ах(ВхС). Поэтому п(Ах(ВхС)) = п((АхВ)хС) и следовательно, а(b с) = (а b)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А х (В È С)= (А х В) È (А х С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства Ах(В\С) = (АхВ) \ (А х С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицатель­ных чисел чаще всего определяют через суммуа×1 = а и а× 0 = 0 принимаются по определению.

Вопрос 4.