Задания на лето по математике.

1.В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

2.Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минимальное 5-значное число, которое состоит из различных четных цифр. Поликарп свое число составил правильно, а Колька ошибся. Однако оказалось, что разность между Колькины числом и правильным ответом меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колка?

3.Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123…10111213…499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

4.У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22х15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3х5. Как это сделать?

5.В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму».

У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9х12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1х8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1х4, чтобы получился прямоугольник 8х12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10х10.

Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

6.Дано трёхзначное число АВВ, произведение цифр которого - двузначное число АС, произведение цифр этого числа равно С (здесь, как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным- разные). Определите исходное число.

7.Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

8.Сможете ли вы найти два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе - делится на 8?

9.Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

10.На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге - 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменилась, а число полос стало равным 10?

11.На столе лежат в ряд пять монет: средняя - вверх орлом, а остальные – вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

12.В каждой клетке шахматной доски стоит оловянный солдатик. Все 64 солдатика разной величины. Среди каждых восьми солдатиков, составляющих горизонтальный ряд, выбирают самого большого. После этого из отобранных восьми больших солдатиков выбирают самого маленького. Затем среди каждых восьми солдатиков, составляющих вертикальный ряд, выбирают самого маленького. После этого из отобранных восьми маленьких солдатиков выбирают самого большого. Какой солдатик больше: самый маленький из больших или самый большой из маленьких?

13.Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?

14.В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая – 5 маленьких и три больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица?

 

15.В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло Алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

16.Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?

17.На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов – вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

18.На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

19.Используя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 26.

20.В комнате стоят трехногие табуретки и четырёхногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате осталось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

21.В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором – на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

22.Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

23.Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получается то же число, что и в остатке.

24.Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 минут. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

25.В комнате находятся 85 воздушных шаров – красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

26.Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10х10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

27.В шахматном турнире участвовали восемь человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места? (1 очко – победа, 0,5 – ничья, 0 – поражение)

28.Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел - положительна.

29.У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

 

 

30.Саша гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в понедельник. Саша заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места?

31.Ванна заполняется холодной водой за 6 минут и 40 секунд, горячей – за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут и 20 секунд. Сколько времени понадобиться, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

32.Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему траву?

33.В 100-значном числе 12345678901234…7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжилось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

34.Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.

35.Чему равно произведение ?

36.Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как в тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было «завтра». Как вы думаете, какой сегодня день недели?

37.Какое число нужно вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ?

38.На кошачьей выставке в ряд стоят 10 котов и 19 кошек, причём рядом с каждой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше него.

39.Дан квадрат 7х7 клеток. Можно ли так покрасить некоторые клетки, чтобы в любом квадрате 2х2 была ровно одна закрашенная клетка?

40.Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?

41.В три сосуда налита вода. Если половину из первого перелить во второй, затем того, что стало во втором, перелить в третий, а затем того, что стало в третьем, перелить в первый, то во всех сосудах станет по 6 л. Сколько было первоначально в каждом сосуде?

42.На расстоянии 30 м одно колесо обернулось 20 раз. Сколько оборотов сделает на том же расстоянии другое колесо, длина окружности которого на 0,5 м больше, чем у первого?

43.Существует ли такое число , что числа и являются полными квадратами?

44.Работают три бригады лесорубов. 1-я и 3-я обработали древесины в два раза больше, чем 2-я, а 2-я и 3-я – в три раза больше, чем 1-я. Какая бригада обработала больше всех древесины?

45.Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал, так как он проезжал за 1 ч на 1 км больше, чем предполагал проехать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью он ехал?

46.Увеличьте число на 40%:

47.На весах арбуз уравновешивает дыню и свеклу. Дыня уравновешивает кочан капусты и свеклу. 2 арбуза весят столько же, сколько весят 3 кочана капусты. Во сколько раз дыня тяжелее свеклы?

48.Какой вес должна иметь каждая из трех гирь для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10 на чашечных весах? Гири разрешается ставить на обе чаши. Ответ обоснуйте.

49.В каждой клетке доски размером 5 х 5 сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка.

50.Из точки на плоскости проведено 7 несовпадающих лучей. Докажите, что среди углов, образованных соседними лучами, найдется угол, величина которого больше 51⁰.

51.Какое наименьшее число жильцов можно вселить в 30-квартирный дом так, чтобы в любых трёх наугад взятых квартирах проживало по меньшей мере 7 человек?

52.Два пешехода и лыжник движутся с постоянными скоростями в одном направлении. Когда пешеходы находились в одной точке, лыжник отставал от них на 900 метров. Когда лыжник догнал второго пешехода, первый отставал от них на 100 метров. Найдите расстояние между первым и вторым пешеходами в тот момент, когда лыжник и первый пешеход находились в одной точке.

53.Одновременно с одного старта в одном направлении выехали два мотоциклиста: первый – со скоростью 80 км/ч, а второй – 60 км/ч. Через полчаса с того же старта в том же направлении отправился третий мотоциклист. Он догнал первого мотоциклиста на 1 час 15 минут позже, чем второго. Найдите скорость третьего мотоциклиста.

54.Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

55.По окружности длиной 100 м равномерно движутся две точки. При движении в одном направлении они будут встречаться каждые 20 секунд, а если они движутся навстречу друг другу, то через каждые 4 секунды. Найдите скорости точек.

56.Два туриста вышли из А и В одновременно навстречу друг другу и встретились на расстоянии 4 км от В. Достигнув А и В, туристы сразу повернули обратно и встретились на расстоянии 2 км от А. Вторая встреча произошла через 1 час после первой. Найдите скорости туристов и расстояние АВ.

57.Для наполнения водой бассейна установлено два насоса. Один первый насос может наполнить бассейн на 8 часов скорее, чем второй. Сначала был открыт второй насос на время, равное удвоенному количеству времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна при одновременном действии обоих насосов, а затем открыли также первый насос и через 1,5 часа после того, как был открыт первый насос, бассейн заполнился водой. За сколько часов второй насос, работая отдельно, может заполнить бассейн?

58. Четверо рабочих обрабатывают детали с постоянной производительностью. Если первый будет работать 2 часа, второй – 4 часа, четвёртый – 6 часов, то вместе они обработают 260 деталей. Если второй и четвёртый будут работать по 6 часов, а третий 2 часа, то будет обработано 270 деталей. Если второй и четвёртый будут работать по 1 часу, то они успеют обработать 40 деталей. Сколько деталей будет обработано, если первый, третий и четвёртый будут работать 1 час?

59.Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30% содержанием никеля?

60.Докажите, что ребус ЗАДАЧА + ЗАДАЧА = ТУРНИР не имеет решений.

61.В выпуклом многоугольнике, который имеет 100 вершин, вершины пронумеровали по ходу движения часовой стрелки (1, 2, 3...). Диагональю, что соединяет 42-ю и 81-ю вершины, многоугольник разрезали на два многоугольника. Сколько сторон имеет каждый из получившихся многоугольников?

62.Четверо друзей-шахматистов перед началом шахматного турнира обсуждали свои возможности на призовые места. Вот что они говорили:

Олег: «Если я не займу первое место, то Леонид займет четвертое».

Леонид: «Если Сергей не займет первое место, тогда Олег выйдет на третье место».

Сергей: «У Олега положение в турнирной таблице будет лучше, чем у Павла».

Павел: «Могу сказать только, что все мы займем разные места».

Предположения друзей оправдались. Кто какие места занял в шахматном турнире?

63. В автобусе ехало не более 100 пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.

64. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т.д. После того как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

65.Отец старше сына на столько лет, сколько месяцев сыну. Во сколько раз отец старше сына?

66.Номер каждого автобусного билета - шестизначное число (несколько начальных цифр билета или даже все они могут быть и нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних его цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.

67.Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они владеют иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

68.Найдите последнюю цифру числа 2^2п +3^2п(п - натуральное число, отличное от 1).

69. и - целые числа, такие, что делится на 19. Докажите, что тоже делится на 19.

70.Коля купил в буфете 3 пакетика ирисок, Витя - 2 пакетика. Когда подошла очередь Алеши, ирисок уже не было. Друзья разделили купленные ириски поровну. Выяснилось, что Алеша должен друзьям 25 монет одинакового достоинства. Сколько стоит пакетик ирисок и по сколько монет Алеша должен Коле и Вите?

71.Можно ли соединить между собой 17 телефонов так, чтобы каждый из них был соединен с 15 другими?

72.Можно ли на листе клетчатой бумаги размером 20x30 клеток провести прямую так, чтобы пересечь 50 клеток?

73.(Задача древних римлян) Один человек перед смертью сделал такое завещание: «В случае рождения сына завещаю ему 2/3 наследства, а матери - 1/3. В случае рождения дочери отдать ей 1/3 наследства, а матери - 2/3». Как поделить наследство, чтобы выполнить условия завещания, если родились мальчик и девочка?

74.Петя, проезжая в вагоне трамвая, заметил Васю, шедшего пешком параллельно линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек. он вышел из вагона и отправился догонять Васю. Зная, что Петя шел вдвое быстрее Васи и в пять раз медленнее трамвая, определите, через какое время Петя догонит Васю.

75.Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль - 5, а Тофсла - 4 снежка. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетело 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются).