Системы координат. Картографические проекции. Картографические и координатные сетки. Разграфка и номенклатура карт.

Основная цель введения некоторой системы координат в геоинфор­матике - это описание положения объектов на поверхности Земли в неко­тором «естественном» виде.

Если мы хотим определить положение судна в океане и нам нужно проложить маршрут движения по карте, то вначале мы «естественно» должны определить широту и долготу положения судна в градусах с по­мощью специальных приборов. При этом мы используем географические координаты. Применение таких координат удобно с точки зрения их по­нимания и вычисления различными астрономическими методами, однако крайне неудобно для выполнения любых геометрических измерений и по­строений. Например, очень сложно определить кратчайшее расстояние между двумя пунктами на поверхности Земли, положения которых заданы в градусах.

Это связано с тем, что поверхность Земли не является плоскостью, а поэтому формулы вычисления расстояний и других геометрических изме­рений на реальной поверхности Земли крайне сложны.

В связи с тем, что физическая поверхность Земли имеет очень слож­ную форму, она в зависимости от решаемых задач аппроксимируется неко­торой фигурой, достаточно просто описываемой математически, например сферой или эллипсоидом. Это позволяет разработать формулы для опреде­ления того же самого расстояния на поверхности сферы.

Однако если мы строим новый квартал в городе, то «естественно» предположить, что поверхность Земли в пределах застраиваемой террито­рии является плоской, а потому все сложности сферической геометрии можно отбросить и использовать привычные для всех со школы формулы геометрии на плоскости. Именно поэтому проект внутриквартальной за­стройки «естественно» выполнить на топографическом плане, используя прямоугольные декартовы координаты в пространстве.

При этом важнейшим вопросом является выбор этой декартовой сис­темы координат. «Естественно» предполагать, что ось Z этой системы ко­ординат должна быть направлена вверх, а другие оси - параллельно по­верхности Земли в начале координат. Это нужно для того, чтобы можно было в полевых условиях измерять высоты на местности с помощью ниве­лира, а также определять вертикали с помощью обычного отвеса.

В то же время если мы строим большой протяжённый объект, на­пример, дорогу, протянувшуюся на сотни или тысячи километров, то по­верхность Земли на таких расстояниях будет существенно отличаться от плоскости. Отклонение поверхности Земли от касательной плоскости, в которой определена декартова система координат, составляет на расстоя­нии 1 км от точки касания 7,8 см, а на 10 км - уже 7,84 м! Поэтому проект строительства дороги будет разбит на участки, выполняемые в различных декартовых системах координат. Основной проблемой такого способа яв­ляется стыковка участков проекта, выполненных в разных локальных сис­темах координат. Таким образом, возникает необходимость выработки об­щего подхода, позволяющего легко и непротиворечиво получать локаль­ные системы координат, взаимно увязывать их друг с другом, а также при необходимости переходить к географическим координатам.

Для этого надо построить некоторую модель поверхности всей Зем­ли, а также определить формулы перехода от этой модели к локальным ко­ординатам и обратно. «Естественно» предполагать, что все локальные (ме­стные) декартовы системы координат должны иметь: 1) начала координат, лежащие на модели поверхности Земли, 2) ось Z, направленную по норма­ли к модели поверхности. При таких предположениях, по крайней мере, измерение вертикали в локальной системе координат можно будет произ­водить на местности с помощью обычного отвеса. Отсюда возникают сле­дующие понятия.

Определение. Уровенной называется поверхность, ортогональная в каждой своей точке к векторам силы тяжести.

Определение. Геоидом называется уровенная поверхность, прохо­дящая через некоторую точку начала отсчёта высот.

Однако геоид имеет крайне сложную форму и её практически невоз­можно математически точно описать. Поэтому в зависимости от решаемых задач форма геоида может аппроксимироваться сферой, эллипсоидом вра­щения, трёхосным эллипсоидом или, наиболее точно, квазuгеоuдамu.

Сложность формы геоида (как и любой другой уровенной поверхно­сти) возникает из-за того, что Земля состоит из неравномерно распреде­лённых масс различной плотности. Это приводит К тому, что сила тяжести на поверхности Земли в разных местах является различной. Кроме того, векторы силы тяжести имеют самые разные направления, не сходящиеся в центре масс Земли.

Определение. Общеземным называется эллипсоид вращения, плос­кость экватора и центр которого совпадают с плоскостью экватора и цен­тром масс Земли и который наилучшим образом аппроксимирует поверх­ность геоида.

Определение. Референц-эллuпсоuдом (референц-сферой) называется такой эллипсоид (сфера), который наилучшим образом аппроксимирует поверхность геоида на соответствующей территории Земли.

Определение. Квазuгеоuдом называется такая фигура, которая на различных участках поверхности Земли аппроксимируется различными местными референц-эллипсоидами. На территории морей и океанов по­верхность квазигеоида совпадает с поверхностью геоида, а на суше она от­клоняется от него в пределах двух метров.

Большинство референц-эллипсоидов являются эллипсоидами враще­ния, которые характеризуются длинами своих полуосей (а - расстояние от его центра до точек экватора и Ь - расстояние от центра до полюсов) и вы­текающим из этих длин коэффициентом сжатия a=(а-b)/а (рис. 3.1). Вместо коэффициента сжатия эллипсоиды иногда характеризуются экс­центриситетом e=(1-(b/a)²)^1/2.

Рис. 3.1. Эллипсоид вращения

Кроме своих размеров, референц-эллипсоиды характеризуются по­ложением центра в теле Земли и ориентацией вертикальной оси. Когда для работы на территории берётся не который местный референц-эллипсоид, то он выбирается так, чтобы максимально точно соответствовать поверхности геоида на этой территории (рис. 3.2). Именно поэтому данный референц­-эллипсоид может очень сильно отличаться от поверхности геоида на дру­гих территориях.

Рис. 3.2. Аппроксимация поверхности Земли референц-эллипсоидами

Среди множества имеющихся в мире референц-эллипсоидов в Рос­сии наиболее часто используется эллипсоид Красовского (а = 6378245; Ь = 6356863,0188; а = 1: 298,3), начальный пункт в Пулково, превышение геоида над референц-эллипсоидом в начальном пункте равно нулю, а измерение высот делается в Балтийской системе высот, ведущей отсчёт от нуля Кронштадтского футштока. Эта система координат называется СК-42, так как она была разработана в 1942 г., а с 1946 г. была введена в эксплуа­тацию на территории СССР. Тем не менее, на Дальнем Востоке иногда ис­пользуется другая система высот от уровня Охотского моря.

В России с 1 июля 2002 г. обязательным к применению является сис­тема координат СК-95 (на основе эллипсоида Красовского, но несколько смещенного и повернутого относительно СК-42) для всех геодезических и картографических работ, а для геодезического обеспечения орбитальных полетов - ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г.), имеющая параметры а = 6378136; Ь = 6356751; а = 1 : 298,25279401.

Тем не менее в последнее время в России все чаше стал также при­меняться международный референц-эллипсоид WGS-84 (а = 6378137; Ь = 6356752; а = 1 : 298,25284078). Это связано с тем, что в системе этого референц-эллипсоида выдают координаты приёмники американской сис­темы глобального позиционирования GPS, которая всё шире применяется в практике геодезических работ.

В математической картографии используются пространственные прямоугольные, криволинейные, плоские прямоугольные и полярные сис­темы координат.

Самой простой является пространственная прямоугольная геоцен­трическая система координат, начало которой совмещено с центром Зем­ли, ось Z направлена на Северный полюс Земли, ось Х - на точку пересече­ния Гринвичского меридиана с экватором, а ось У - на восток от Гринвича (рис. 3.3). В качестве точки Северного полюса обычно используют услов­ный земной полюс (международное' условное начало), которая вместе с центром масс Земли определяет некоторое фиксированное среднее поло­жение оси вращения Земли. Это связано в основном с прецессией - астро­номическим явлением, заключающимся в том, что ось вращения Земли со временем перемещается в теле Земли и относительно звезд.

В то же время на практике обычно используются различные квази­геоцентрические системы координат, центр которых и угол наклона осей несколько иные. Именно поэтому имеются специальные формулы для пе­ресчёта координат из одной системы координат в другую:

где x_o,Y_o,z_o - координаты начала координат второй системы в первой; М - масштабный коэффициент; ɛ_x,ɛ_у,ɛ_z - разворот осей на малые углы.

Ориентация используемого референц-эллипсоида характеризуется смещением от центра масс Земли и отклонением его оси относительно оси вращения Земли.

Рис. 3.3. Геоцентрическая система координат

Однако более привычной является географическая (геодезическая) система координат, когда координаты точки на поверхности эллипсоида определяются широтой φ и долготой λ, измеряемыми в градусах от эква­тора и от Гринвичского меридиана соответственно (рис. 3.4). Координаты любой точки в пространстве складываются из широты и долготы её проек­ции по нормали на эллипсоид и высоты Н точки относительно эллипсоида.

В связи с тем, что широта и долгота точки на местности зачастую определяются с помощью астрономических наблюдений, географические координаты также иногда называются астрономическими.

Рис. 3.4. Географическая (геодезическая) система координат

Использование вышеприведённых геоцентрической и географиче­ской систем координат не всегда удобно. Так, при работе на не60льших участках земной поверхности чаше применяется топоцентрическая (гори­зонтная) система координат, которая является обычной прямоугольной пространственной системой координат и характеризуется некоторой на­чальной точкой Q_o (φ₀, λ₀, H₀), задаваемой в географической системе ко­ординат (H₀- это высота точки Q_o над уровнем референц-эллипсоида). Ось Z топоцентрической системы координат совпадает с нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через Q_o, ось х лежит в плоскости ме­ридиана и направлена на Северный полюс, а ось Y направлена на восток (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Топоцентрическая (горизонтальная) система координат

Кроме вышеупомянутых, также широко используется полярная сфе­роидическая (сферическая) система координат. В этой системе отсчёт ве­дётся от точки нового полюса Q_o (φ₀, λ₀), задаваемого в географической системе координат (рис. 3.6). Положение любой точки С на поверхности эллипсоида задаётся двумя углами a и z. Угол а (азимут) измеряется между нормальными плоскостями в точке полюса, одна из которых проходит че­рез старые полюса эллипсоида, а другая - через точку С. Угол z определя­ется как СО' Q_o, где точка О' является точкой пересечения вертикальной оси референц-эллипсоида с нормалью к эллипсоиду, проведённой через точку нового полюса. Слово «полярная» в названии данной системы коор­динат призвано подчеркнуть, что координаты а и z можно представлять себе как полярные угол и радиус соответственно, только на поверхности эллипсоида, а не на плоскости.

Рис. 3.6. Полярная сфероидическая (сферическая) система координат

Отметим, что в математической картографии иногда также исполь­зуется «почти обычная» полярная система координат - так называемая по­лярная геодезическая система координат. В этой системе отсчёт, так же как и в предыдущем случае, ведётся от точки нового полюса Q_o (φ₀, λ₀), задаваемого в географической системе координат (рис. 3.7). Положение любой точки C на поверхности эллипсоида задаётся длиной геодезической линии s от Q_o до с и азимутом а - углом между нормальными плоскостя­ми в точке полюса, одна из которых проходит через старые полюса эллип­соида, а другая - через точку С (геодезической линией между двумя задан­ными точками на некоторой поверхности называется кратчайшая линия, связывающая эти две точки на данной поверхности).

Рис. 3.7. Полярная геодезическая система координат

Все вышеприведённые системы координат предназначены для зада­ния «абсолютных координат», то есть координат, не зависящих от положе­ния никаких объектов в пространстве.

В противовес абсолютным часто используются различные относи­тельные координаты, в которых отсчёт ведётся от некоторых заметных объектов на местности.

Относительные системы координат бывают двух основных видов:

1. Относительная полюсная система координат. В этих координа­тах отсчёт ведётся от полюсов - некоторых известных точек на местности, заданных либо в абсолютной системе координат, либо в описательном ви­де. Положение любой другой точки на местности может задаваться как азимут и расстояние от некоторого полюса либо как расстояния от двух полюсов.

С помощью таких координат очень часто задаётся положение объек­тов подземных инженерных коммуникаций (колодцев, труб, кабелей) на картах местности, например в терминах «4 метра на север от угла дома» или «в 5 метрах от угла дома и на расстоянии 6 метров от стены трансформаторной подстанции) (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Задание положения инженерных коммуникаций с помощью относительной полюсной системы координат

Эта система координат позволяет задать положение объектов на плане, а также в пространстве, добавляя в описание координат смещение по высоте искомой точки от плановой («2 метра под землей») или от базо­вой точки («3 метра ниже отметки на стене дома»).

2. Относительная линеаризованная (пикетажная) система коорди­нат. В этой системе за основу берётся некоторая базовая кривая, положе­ние которой задано в абсолютной системе координат. Кроме того, на этой кривой выбирается некоторая базовая точка B (обычно это начало кривой). Положение любой иной точки е на базовой кривой считается как крат­чайшее расстояние от этой точки до базовой точки вдоль базовой кривой. Такое расстояние часто называют пикетажным расстоянием или пике­тажем. для определения положения любой точки P на плоскости, не ле­жащей на базовой прямой, нужно найти ближайшую точку е на базовой прямой. Положением точки P будет считаться пара величин («пикетаж + смещение», где «пикетаж» - это пикетаж точки е относительно В, а «сме­щение» - это расстояние от P до С. Причём если точка Р располагается справа от кривой ВС, то смещение берётся со знаком плюс, иначе - со зна­ком минус (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Задание положения объектов инженерного обустройства автомобильной дороги с помощью линеаризованной системы координат