Картографические проекции.

В связи с тем, что форма Земли не является плоской, при построении бумажных или электронных карт используются так называемые карто­графические проекции - математические способы отображения поверхно­сти Земли на плоскость.

К настоящему времени создано огромное количество различных проекций, выбор которых зависит от размеров картографируемой террито­рии, назначения карты, а также стандартов, принятых в той или иной стра­не мира.

Важнейшими характеристиками проекций являются характер и ве­личина искажений. При этом выделяют следующие виды проекций:

1. Равноугольные проекции. В этих проекциях сохраняются без ис­кажений углы и формы малых объектов, но сильно искажаются длины и площади объектов. В математике такие преобразования называются кон­формными. Такие проекции используются, например, для навигации и про­кладки транспортных маршрутов.

2. Равновеликие проекции. Эти проекции сохраняют площади всех объектов, но искажают утлы и формы объектов. В таких проекциях очень удобно, например, определять площади земельных участков.

3. Равнопромежуточные проекции. В этих проекциях сохраняются длины вдоль одного из главных направлений (обычно вдоль параллелей либо вдоль одного или всех меридианов).

4. Произвольные проекции. В таких проекциях не сохраняются дли­ны, площади или углы, однако преобразование проекции подбирается так, чтобы искажения углов, площадей и длин были в целом по карте мини­мальны. Как правило, в центре карты делают минимальные искажения, ко­торые плавно возрастают к краям.

Картографические проекции обычно задаются в виде:

 

 

где х - вертикальная (не горизонтальная!) координата после проецирова­ния; у - горизонтальная координата; φ - широта проецируемой точки; λ ­долгота.

 

В зависимости от общего вида функций f₁ и f₂ получаются различ­ные семейства проекций. Рассмотрим основные классы проекций.

1. Цилиндрические проекции. В этих проекциях меридианы - это равноотстоящие параллельные линии, а параллели - параллельные прямые, ортогональные меридианам. Общие уравнения цилиндрических проекций выглядят так:

 

 

где с - постоянный параметр.

На рис. 3.10-3.12 приведены различные варианты цилиндрической проекции.

 

Рис. 3.10. Равноугольная цилиндрическая проекция

 

Рис. 3.11. Равновеликая цилиндрическая проекция

 

Рис. 3.12. Равнопромежуточная по меридианам цилиндрическая проекция

 

2. Псевдоцuлuндрuческuе проекции. В этих проекциях параллели ­это параллельные прямые, а меридианы - кривые или прямые, симметрич­ные относительно среднего прямолинейного меридиана.

Общие уравнения псевдоцилиндрических проекций выглядят так:

Варианты равновеликих псевдоцилиндрических проекций приведе­ны на рис. 3.13-3.15 с меридианами в форме синусоид, а на рис. 3.16 - с меридианами в форме эллипсов. На рис. 3.17-3.20 приведены примеры произвольных псевдоцилиндрических проекций.

 

Рис. 3.13. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая проекция с полюсами в виде точек

 

Рис. 3.14. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая пpоекция с полярной линией

 

Рис. 3.15. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая проекция Каврайского

 

Рис. 3.16. Равновеликая эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция

 

Рис. 3.17. Произвольная синусоидальная псевдоцилиндрическая проекция

 

Рис. 3.18. Произвольная эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция Каврайского

 

Рис. 3.19. Произвольная эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция Михайлова

 

Рис. 3.20. Произвольная псевдоцилиндрическая проекция ЦНИИГАиК (Гинзбурга)

 

3. Поперечно-цuлuндрuческuе проекции. Для их получения вначале географические координаты переводятся в сферические полярные коорди­наты, которые, в свою очередь, преобразуются с помощью некоторой обычной цилиндрической проекции. К таким проекциям относятся наибо­лее распространённые в мире проекции: проекции Гаусса-Крюгера и UTM.

Общие уравнения поперечно-цилиндрических проекций выглядят следующим образом:

 

 

где Х, У - сферические полярные координаты поперечной системы, а r ­константа.

Примеры некоторых поперечно-цилиндрических проекций приведе­ны на рис. 3.21-3.22.

 

Рис. 3.21. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Практически так же выглядят проекции Кассини-Зольднера, Гаусса-Ламберта и Меркатора, которая известна также как UTM и проекция Гаусса-Боага

 

Рис. 3.22. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера для широкой полосы

 

4. Конические проекции. В этих проекциях параллели - это концен­трические окружности, а меридианы - пучок прямых, проведённых из цен­тра окружностей.

Общие уравнения конических проекций выглядят так:

 

 

где ρ_ю - полярный радиус южной параллели, а α = const .

Некоторые варианты равноугольных конических проекций приведе­ны на рис. 3.23-3.24.

 

Рис. 3.23. Равноугольная коническая проекция с одинаковыми искажениями на крайних параллелях 10 и 80 градусов

 

Рис. 3.24. Равноугольная коническая проекция

 

5. Псевдоконuческuе проекции. В этих проекциях параллели - это дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана, на котором располо­жен центр параллелей.

Общие уравнения псевдоконических проекций выглядят так:

 

 

где q - полярное расстояние южной параллели на плоскости.

Примеры псевдоконических проекций приведены на рис. 3.25-3.26.

 

Рис. 3.25. Равновеликая псевдоконическая проекция Бонна (стандартная параллель = 50)

 

Рис. 3.26. Псевдоконическая проекция Штаба-Вернера (сердцевидная). Искажения отсутствуют на среднем меридиане (55) и Северном полюсе

 

6. Полuконuческuе проекции. В этих проекциях параллели - это дуги эксцентрических окружностей с центрами, расположенными на среднем прямолинейном меридиане, а меридианы - кривые, симметричные относи­тельно среднего меридиана и экватора.

Общие уравнения поликонических проекций выглядят так:

 

 

Варианты поликонических проекций приведены на рис. 3.27-3.3 1.

 

Рис. 3.27. Поликоническая проекция Лагранжа

 

Рис. 3.28. Простая поликоническая проекция

 

Рис. 3.29. Видоизмененная простая поликоническая проекция

 

Рис. 3.30. Равновеликая поликоническая проекция

 

Рис. 3.31. Ортогональная поликоническая проекция

 

7. Азимутальные проекции. В этих проекциях параллели (альмукан­тараты) - это концентрические окружности, а меридианы (вертикалы) ­прямые линии, пересекающиеся в центре окружностей под углами, равны­ми разностям долгот соответствующих меридианов.

Общие уравнения азимутальных проекций выглядят так:

 

 

где z, а - сферические полярные координаты точек φ, λ.

Варианты азимутальных проекций приведены на рис. 3.32-3.35.

 

Рис. 3.32. Равноугольная азимутальная проекция

 

Рис. 3.34. Равноугольная азимутальная проекция для изображения территорий

с округлыми очертаниями (кроме полярных областей)

 

Рис. 3.35. Равновеликая азимутальная проекция шара Ламберта. Аналогично выглядит проекция Постеля (в ней также отсутствуют искажения вдоль стандартной параллели)

 

8. Псевдоазимутальные проекции. Такие проекции применяются в случаях, когда нужно передать на карте эффект сферичности Земли. В этих проекциях параллели - это концентрические окружности, а меридианы ­кривые или прямые, сходящиеся в центре параллелей. При этом меридиа­ны 0 и 360 совпадают.

Общие уравнения псевдоазимутальных проекций выглядят так:

 

 

где z, а - сферические полярные координаты точек φ, λ, k и а - константы.

Некоторые примеры псевдоазимутальных проекций приведены на рис. 3.36-3.37.

 

Рис. 3.36. Псевдоазимутальная проекция Вихеля

 

(а) (6)

Рис. 3.37. Псевдоазимутальная проекция Гинзбурга: а - простая; б - с эффектом выпуклости

 

9. Перспективные проекции. К этим пpоекциям относят проекции, в которых поверхность Земли отображается прямолинейными визирными лучами из точек пространства, называемыми точками зрения, на разверты­вающиеся поверхности цилиндра (при этом получается перспективно-ци­лuндрuческая проекция), конуса (перспектuвно-конuческая) или плоскость (перспектuвно-азuмутальная). Наибольшее распространение на практике получили перспективно-азимутальные, а также перспективно-цилиндри­ческие проекции. На рис. 3.38-3.39 даны примеры перспективно-цилинд­рических проекций, а на рис. 3.40-3.42 - перспективно-азимутальных.

 

Рис. 3.38. Перспективно-цилиндрическая проекция Уэтча

 

Рис. 3.39. Комбинированная перспективно-цилиндрическая проекция с негативным и позитивным изображениями

 

Рис. 3.40. Гномическая проекция (перспективно-азимутальная с негативным изображением)

 

Рис. 3.41. Стереографическая проекция (перспективно-азимутальная с негативным изображением)

 

Рис. 3.42. Ортографическая проекция (перспективно-азимутальная с негативным изображением)

 

10. Проекцuu для карт глобусов. Глобусы обычно изготавливаются путем оклеивания шаровых заготовок или выдавливания прессом пленки в полусферы.

В первом способе (методе оклейки) вначале производится изготов­ление меридианных полос с картографическим изображением размером в 30⁰ по долготе и в 140⁰ по широте, не включая полярные шапки за 70-ми параллелями.

Для построения изображения на этих полосах обычно используется видоизмененная простая поликоническая проекция, сохраняющая длины на среднем меридиане, на всех параллелях и имеющая незначительные ис­кажения на крайних меридианах. Формулы данных проекций для этих по­лос представляют в виде

 

 

где R - радиус референц-сферы; s(φ) - длина дуги меридиана от экватора до данной параллели φ, а k - константа, обычно принимаемая равной 2, но может иметь и другие значения.

Для построения изображений полярных шапок обычно применяется прямая равнопромежуточная вдоль меридианов азимутальная проекция (рис. З.4З).

 

Рис. 3.43. Развертка глобуса

 

Во втором способе (методе выдавливания) изображение наносится на специальную тонкую пленку, отличающуюся равномерностью вытяжки в продольном и поперечном направлении при выдавливании плоскости в полусферу. Выдавливание предварительно нагретой пленки производится с помощью специального пресса. Картографическое изображение, наноси­мое на пленку, строится в видоизменённой равнопромежуточной вдоль меридианов азимутальной проекции с учётом необходимых величин её растяжения при выдавливании. Формулы этих проекций имеют вид

 

 

где R - радиус референц-сферы, а k₁ - константа, определяемая с учётом растяжения пленки.

11. Переменно-масштабные проекции. Такие проекции могут быть использованы для картографирования неравномерно распределённых в пространстве объектов и явлений, когда существует необходимость сжатия или растяжения отдельных участков земной поверхности (рис. 3.44).

 

Рис. 3.44. Переменно-масштабная проекция

 

12. Проекции анаморфированных изображений. В анаморфирован­ных изображениях (анаморфизмах) величина масштаба в различных точ­ках карты плавно меняется пропорционально значениям некоторого пара­метра (плотности некоторого явления), распределённого по всей карте. Целью анаморфического преобразования является выравнивание плотно­сти по всей карте.

Например, если в качестве выравнивающего параметра выбрать плотность населения, то наиболее плотно населённые районы увеличатся в размерах, а менее населенные - уменьшатся. Такие изображения называ­ются эквидемическuми.На рис. 3.45 приведён пример анаморфированного изображения стран мира по населению.

 

Рис. 3.45. Эквидемическая карта мира (анаморфизм по населению отдельных регионов стран)

 

Среди всего множества проекций в России наиболее часто использу­ется «двойная» равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаус­са-Крюгера, сохраняющая длины на среднем меридиане. Эта проекция лучше всего подходит для картографирования территории Российской Фе­дерации, имеющей большой территориальный охват.

Для топографических карт многих стран мира в настоящее время применяется проекция UTM - универсальная поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора. Эта проекция отличается от проекции Гаусса-Крюге­ра только тем, что на среднем меридиане частный масштаб длин равен не единице, а 0,9996.