Проведение вычислительного эксперимента

Используя полученный план эксперимента и выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) провести на ЭВМ вычислительный эксперимент, состоящий из опытов N (см. рис. 1).

Рис. 1. Математическая модель дизеля ТМЗ-450Д

Полученные результаты представить в виде таблицы 3

Табл. 3

Результаты вычислительного эксперимента

Получение формульных зависимостей, связывающих значение выходной переменной Y (отклика) объекта с входной переменной X (фактором)

Для получения функциональных зависимостей вида Y = f(X) наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК).

При выполнении расчетов в качестве аппроксимирующих функций (уравнений регрессии) использовать следующие полиномиальные зависимости:

– линейную (Y_р = a₀ + a₁X);

– квадратичную (Y_р = a₀ + a₁X + a₂X²);

где a₀, a₁ и a₂ неизвестные коэффициенты уравнений.

Получение аппроксимирующих функций является общепринятым подходом к обработке статистической информации. Эти функции в математической статистике называют статистической или регрессионной моделью процесса.

Посредством МНК значения a₀, a₁ и a₂ находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений отклика Y_j от получаемых Y_jр с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

.

Минимизация суммы квадратов производится обычным способом с помощью дифференциального исчисления путем приравнивания к 0 первых частных производных по a₀, a₁, a₂,….. В итоге получается замкнутая система алгебраических уравнений, с неизвестными a₀, a₁, a₂,…..

Так, например, для уравнения прямой Y_р = a₀ + a₁X

;

.

или

В итоге для случая уравнения прямой неизвестные коэффициенты определяются по следующим формулам

;

.

Для квадратичной зависимости Y_р = a₀ + a₁X + a₂X² система нормальных уравнений имеет вид:

Вычисляя из N опытов необходимые суммы и решая эту систему, находим значения коэффициентов a₀, a₁ и a₂.

При вычислении приведенных в уравнениях сумм данные целесообразно представлять в виде табл. 4.

Табл. 4

К определению значений коэффициентов

Графический анализ результатов

Полученные результаты представить в графическом виде (результаты опытов в виде отдельных точек, графики Y_р = a₀ + a₁X и Y_р = a₀ + a₁X + a₂X²). Примеры графиков приведены на рис. 2.

Рис. 2. Пример графического представления результатов