Глава 8. Основные проблемы измерения

Измерение в науке

Измерение в науке означает выявление количественных характеристик изучаемых явлений. Цель измерения всегда заключается в получении информации о количественных признаках объектов, организмов или событий. Измеряется не сам объект, а только свойства или отличительные признаки объекта. В широком смысле измерение – это особая процедура, посредством которой числа (или порядковые величины) приписываются вещам по определенным правилам. Сами правила состоят в установлении соответствия между некоторыми свойствами чисел и некоторыми свойствами вещей. Возможность данного соответствия и обосновывает важность измерения в педагогике.

В процессе измерения исходят из предположения, что все существующее каким-то образом проявляется или на что-то действует. Общая задача измерения состоит в том, чтобы определить так называемую модальность одного показателя по сравнению с другим, измеряя его «вес».

Многообразие психических, физиологических и социальных явлений принято называть переменными, поскольку они отличаются индивидуальными величинами у отдельных индивидов или в разное время у одного и того же индивида. С позиции теории измерения следует различать два аспекта: а) количественная сторона - частота некоторого проявления, (чем оно чаще проявляется, тем выше значение свойства); б) интенсивность (величина или сила проявления).

Измерения можно проводить на четырех уровнях. Четырем уровням будут соответствовать четыре шкалы.

Шкала [< лат. scala – лестница] – инструмент для измерения непрерывных свойств объекта; представляет собой числовую систему, в которой отношения между различными свойствами объектов выражены свойствами числового ряда. Шкала есть способ упорядочивания объектов произвольной природы. В педагогике, психологии, социологии и других социальных науках различные шкалы используются для изучения различных характеристик педагогических и социально-психологических явлений.

Первоначально были выделены четыре типа числовых систем, которые определяют соответственно четыре уровня (или шкалы) измерения. Точнее три уровня, но третий уровень подразделяется еще на два подуровня. Их разделение осуществимо на основе тех математических преобразований, которые допускаются каждой шкалой.

1) Шкала наименований (номинальная).

2) Шкала порядка (ранговая, ординальная).

3) Метрические шкалы: а) шкала интервалов, б) шкала пропорций (пропорциональная, отношений).

Метрическая шкала бывает относительная (шкала интервалов) и абсолютная (шкала пропорций). В метрических шкалах носитель шкалы образует отношения строгого порядка, как, например, в шкалах времени, весов, температуры и др.

При абсолютном типе метрической шкалы за точку отсчета выбирается некоторая абсолютная отметка, например, измерение длины и расстояния в сравнении с эталоном (рост Пети 92 см, расстояние от одного города до другого 100 км).

В относительных шкалах точка отсчета привязана к чему-то другому. Например, Петя ростом с третьеклассника, длина удава равняется тридцати двум попугаям, летоисчисление на Западе привязывается к рождеству Христову, нулевая точка Московского времени служит ориентиром для всей территории Российской Федерации и Гринвичское нулевое время для Москвы.

Порядковая шкала не дает возможности изменить расстояние между объектами, проецируемыми на нее. С порядковыми шкалами связаны нечеткие шкалы, например, Петя выше Саши. Сначала было то-то, а потом то-то; также далеко, как …; давно, как … . Список учащихся в классном журнале также есть вид порядковой шкалы. Такие шкалы широко используются в моделировании рассуждений: если А больше, чем В, а С выше А, следовательно, С выше, чем В.

Различие уровней измерения какого-либо качества можно проиллюстрировать следующим примером. Если подразделить учащихся на справившихся и не справившихся с контрольной работой, то тем самым получим номинальную шкалу выполнивших задание. Если можно установить степень правильности выполнения контрольной работы, то строится шкала порядка (ординальная шкала). Если можно измерить насколько и во сколько раз грамотность одних больше грамотности других, то можно получить интервальную и пропорциональную шкалу грамотности выполнения контрольной работы.

Шкалы различаются не только своими математическими свойствами, но и разными способами сбора информации. В каждой шкале применяются строго определенные методы анализа данных.

В зависимости от типа задач, решаемых с помощью шкалирования, строят либо а) шкалы оценок, либо б) шкалы для измерения социальных установок.

Шкала оценок – методический прием, позволяющий распределять совокупность изучаемых объектов по степени выраженности общего для них свойства. Возможность построения шкалы оценок основывается на предположении, что каждый эксперт способен непосредственно давать количественные оценки изучаемым объектам. Простейшим примером такой шкалы является обычная школьная система баллов. Шкала оценок имеет от пяти до одиннадцати интервалов, которые могут быть обозначены цифрами, либо сформулированы вербально (словесно). Считается, что психологические возможности человека не позволяют ему производить классификацию объектов более чем по 11-13 позициям. К основным процедурам шкалирования с помощью шкалы оценок относятся парное сравнение объектов, отнесение их к категориям и др.

Шкалы для измерения социальных установок. Например, отношение учащихся к выполнению проблемного задания может варьироваться от отрицательного до творчески активного (рис.1). Расположив все промежуточные значения на шкале, мы получаем:

Используя принцип шкал, можно строить шкалы полярных профилей, измеряющие сразу несколько показателей.

Сама шкала точно определяет промежуточные значения измеряемой переменной:

+7 – признак проявляется всегда,

+6 – очень часто, почти всегда,

+5 – часто,

+4 – иногда, ни часто, ни редко,

+3 – редко,

+2 – очень редко, почти никогда,

+1 – никогда.

Инвариант этой шкалы с заменой односторонней шкалы на двустороннюю может выглядеть следующим образом (см. рис. 2):

Шкалирование [< англ. scaling – определение масштаба, единицы измерения] – метод моделирования реальных процессов с помощью числовых систем. В социальных науках (педагогике, психологии, социологии и др.) шкалирование является одним из важнейших средств математического анализа изучаемого явления, а также способом организации эмпирических данных, получаемых с помощью наблюдения, изучения документов, анкетного опроса, экспериментов, тестирования. Большинство социальных объектов не могут быть строго фиксированы и не поддаются прямому измерению

 

Общий процесс шкалирования состоит в конструировании по определенным правилам самой шкалы и включает в себя два этапа: а) на этапе сбора информации осуществляется изучение эмпирической системы исследуемых объектов и фиксирование типа отношений между ними; б) на этапе анализа данных строится числовая система, моделирующая отношения эмпирической системы объектов.

Существует два типа задач, решаемых с помощью метода шкалирования: а) числовое отображение совокупности объектов с помощью их усредненной групповой оценки; б) числовое отображение внутренних характеристик индивидов посредством фиксации их отношения к какому-либо социально-педагогическому явлению. В первом случае отображение осуществляется с помощью шкалы оценок, во втором – шкалы установок.

Разработка шкалы для измерения требует учета ряда условий: соответствие измеряемых объектов, явлений измерительному эталону; выявление возможности измерения интервала между различными проявлениями измеряемого качества или свойства личности; определение конкретных показателей различных проявлений измеряемых явлений.

В зависимости от уровня шкалы необходимо вычислять величину для обозначения главной тенденции. На номинальной шкале можно указать только модальную величину, т.е. наиболее часто встречающуюся величину. Порядковая шкала позволяет вычислить медиану, ту величину, по обе стороны от которой располагается равное количество величин. Шкала интервалов и шкала отношений делают возможным вычисление средней арифметической величины. От уровня шкалы зависят также величины корреляции.

Номинальная шкала

Номинальная шкала (шкала наименований) – это самый «низший» уровень измерения, предполагающий лишь констатацию подобия или различия объектов относительно какого-либо признака, то есть качественную однородность признака. Шкалу наименований представляет приписывание числовых индексов объектам. В них объекты помещаются в отдельные категории. При этом числовые индексы используются в качестве отличительных ярлыков (0–1), не имеющих количественного значения. Измерение в шкале наименований обеспечивает лишь группировку предметов в классы, идентичные в отношении определенного признака или свойства предмета. Измерить в шкале наименований – значит приписать число определенному признаку. Например, группировка учащихся по полу, социальному положению, месту жительства. К номинальному измерению относится и измерение типа «знает – не знает».

При использовании номинальных шкал можно определить, какой номинальный класс имеет самый большой состав, и назвать этот класс модой распределения. В данном случае мода является статистической мерой «центральной тенденции», т.е. если продолжить наблюдения, изменяя условия, в которых они проводились ранее, то мода будет представлять наблюдения, которые можно ожидать с максимальной вероятностью.

Если в каком-то классе 14 детей являются единственным ребенком в семье (эта категория условно будет поименована нулем «0»), 11 детей имеют брата или сестру (обозначим единицей «1»), 5 детей – двух (присвоим данной категории детей цифру «2»), 3 ребенка – трех (обозначим тройкой «3») и 1 ребенок – четырех братьев и сестер (обозначим «4»), то «0» («единственный ребенок в семье») является здесь модальной величиной. В данном примере упорядочить по возрастающей номинальные величины условно можно следующим образом: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4.

В шкале наименований объекты классифицированы, классы обозначены номерами. То, что номер одного класса больше или меньше другого, еще ничего не говорит о свойствах объектов за исключением того, что они различаются. Цифры 0, 1, 2, 3, 4 взяты нами произвольно, вместо них вполне возможно присвоить совсем другие цифры в любом порядке: 187, 59, 1001, 003 и т.п. За всеми цифрами нет никакого арифметического содержания, что еще более контрастно подчеркивается при вербальном обозначении, присвоив им имена [< лат. nomen] и обозначив терминами желтизна, синева, чернота и др. Невозможность применения арифметических операций в отношении к данной шкале является характерным признаком номинальных величин (см. таблицу 9).

Таблица 9

Характеристика шкалы наименований

Свойство шкалы	Различает предметы по проявлению свойства. Не различает уровней проявления свойства
Область применения	Классификация студентов в группах, групп в институте, заданий. Результат сдачи зачета (сдал, не сдал, не явился, не допущен). Классификация специальностей вузов, анкетные данные, номера автомобилей, футболистов и т.п.
Статистический аппарат	Частота ni Мода Mo

Порядковая шкала

Измерение в шкале порядка возможно при том условии, что имеется возможность определить не только признаки свойств предмета, но и различие интенсивности признака или свойства. Ранговые измерения характеризуют только порядок расположения предметов по возрастанию или убыванию их свойств. Данный вид измерения использует два свойства чисел – различие их и порядок расположения. Большая часть шкал, широко применяемых в педагогических, социологических, социально-психологических исследованиях, является шкалами порядка.

Шкала порядка является неравномерной. Расстояния между соседними метками шкалы неизвестны. В ранговых измерениях числа приписываются интенсивностям признака предмета таким образом, что если число, присвоенное предмету A, в процессе измерения, меньше числа B, то это значит, что в B содержится больше данного свойства, чем в A.

В порядковых измерениях значения чисел, присваиваемых предметам, отражают количество свойства, принадлежащего предметам. При обработке приписанных баллов используются медиана, индексы, процентные исчисления по всей шкале и ранговая корреляция. При этом следует помнить, что равные суммы и разности чисел не означают равных сумм и разностей в количествах свойств. Для этой шкалы результаты арифметических действий нельзя интерпретировать как свидетельство о количестве свойств.

Примером измерений шкалы порядка может служить ранжирование по индивидуальным чертам личности, ранжирование учащихся по успехам в учении, ранжирование по физическим данным, обозначение твердости минералов, военные ранги, ученые степени и звания, награды за заслуги. Например, мы ранжируем учащихся по росту. В этом случае учащихся ранжируют в порядке роста и каждому присваивают соответственно числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Следует заметить, что любой ряд чисел, написанных в возрастающем порядке, был бы пригоден (например, числа 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45), поскольку нулевая точка отсчета и интервалы между двумя соседними цифрами в порядковых измерениях неизвестны.

Другой пример, в группе провели классификацию, в основу которой положили выполнение тестовых заданий. Среди пятерых учащихся разброс получился от 9 до 28 заданий.

На рис.3 отражено, что интервалы между тем или иным местом в ряду могут быть различны. Однако точная величина в разности интервалов нам неизвестна, так как числа отображают эмпирическую реальность не адекватно. Достаточно уверенно можно говорить о месте в ряду (от первого до пятого), но не об интервалах между ними.

Следовательно, некорректно складывать, вычитать, умножать, делить порядковые места или с их помощью вычислять среднее арифметическое значение. В нашем случае нельзя утверждать, что Айгуль (2-е место) выполнила в два раза меньше заданий (или имеет в два раза меньше знаний!), чем Урал (4-е место), ибо 26 (заданий) не есть число в два раза большее, чем 12. Можно лишь определить медиану как величину главной тенденции. Это та величина, по обе стороны которой располагается равное количество многочисленных данных выборки. В данном примере медиану представляют результаты Гайсы. Порядковая, или ранговая, шкала указывает лишь последовательность носителей признака и направление степени выраженности признака (в рассмотренном случае от 0 до 28 тестовых заданий).

Шкала оценок, применяемая в школьной практике, также является порядковой шкалой, так как интервалы между отдельными ступенями, например, пятибалльной системы в целом не отражают разрыва между реальными результатами. Здесь отсутствует равномерность распределения между выставляемыми отметками. Никто не может утверждать, будто различие между отметками «1» и «2» столь же велико, как между «3» и «4» или «4» и «5». Мы узнаем лишь, что ученик X в данном классе лучше ученика Y, а этот, в свою очередь, лучше ученика Z. И эти колебания «больше-меньше» в оценке знаний и результатов отражаются в цифровой отметке. Коль скоро шкала оценок является порядковой шкалой, то мы не имеем права, если не хотим действовать по-научному корректно, вычислять на основании отметок среднюю арифметическую величину, т.е. мы не имеем права выводить среднюю оценку, как это тем не менее делают многие учителя и руководители системы образования на всех уровнях (см. табл. 10).

Таблица 10

Характеристики порядковой шкалы

Свойства шкалы	Различает уровень проявления свойств объекта, не определяет величину различия проявления свойств, не имеет эталона (масштабной единицы)
Область применения	Балльные оценки за учебу, годы обучения, твердость минералов, сила ветра, урагана, землетрясения, место на спортивных соревнованиях, сортность
Статистический аппарат	Частота ni . Мода Mo. Медиана Me. Коэффициент Кендэла. Коэффициент Спирмена

Шкала интервалов

Шкала интервалов имеет отличительные свойства, заключающиеся в следующих возможностях: определение признаков, свойств предметов, выявление различия в степени измеряемых свойств, опора на условно определенную нулевую точку отсчета, произвольное определение величины единицы измерения (интервальной величины).

Интервальная шкала характеризуется тем, что интервалы между объектами могут быть измерены. При создании шкал интервалов основная проблема состоит в том, чтобы изобрести такие операции, которые позволили бы уравнять единицы шкал. В этой шкале имеются интервалы с соответствующими номерами, и характер ответов испытуемого фиксируется на определенной точке шкалы, выражающей его отношение к данному вопросу.

При помощи интервальной шкалы измерений имеется возможность определения не только признаков свойств предметов, но и количественное различие степеней свойств этих предметов. Здесь имеется единица измерения или опорные точки измерения. Поэтому число, присвоенное измеряемому признаку, приблизительно соответствует количеству измеряемого свойства. В соответствии с этим все интервальные шкалы можно подразделить на равномерные с опорой на единицы измерения и неравномерные с «эталонными» опорными точками. Все интервальные шкалы имеют нулевую точку, но нулевая точка интервальной шкалы произвольна и не указывает на отсутствие свойства. Это означает, что оцениваемое свойство предметов не пропадает, когда результат измерения равен нулю. Например, нулевая точка температурной шкалы Цельсия выбрана условно и равна температуре таяния льда, тогда как вода при нуле градусов Цельсия все же имеет некоторую температуру.

На шкале интервалов мы имеем равные расстояния между делениями, они равноудалены друг от друга. И тем не менее мы не можем установить пропорций (соотношение) с помощью значений этой шкалы: температура, равная 50 градусам, не может быть в два раза теплее, чем температура 25 градусов. Если предмет A имеет температуру 25 градусов, а предмет B – 50 градусов, то мы уверенно можем утверждать только одно: разность температур здесь столь же велика, как и между предметом D, имеющим температуру 75 градусов, и предметом U, имеющим температуру 100 градусов, т.е. разность температур составляет в каждом случае 25 градусов. Эти рассуждения обусловлены тем, что три момента на шкале интервалов устанавливаются произвольно: нуль шкалы (точка отсчета), величина единицы измерения и направление, в котором ведется подсчет.

Также произвольно устанавливается точка отсчета в тщательно сконструированных и стандартизированных тестах интеллекта, в которых вообще не известна абсолютная точка отсчета. Даже если при выполнении теста интеллекта не будет решена ни одна задача, мы не может утверждать, что умственное развитие испытуемого равно нулю. Шкала интервалов не позволяет нам также утверждать, будто некто, чей коэффициент интеллекта (IQ) составляет 140, в два раза более развит, чем тот, чей коэффициент равен 70. Мы знаем лишь, что разность между показателями величины IQ 140 и 70 столь же велика, как и между IQ 130 и IQ 60, а именно 70 единиц IQ.

Хотя шкала интервалов не позволяет нам сделать заключение о пропорциях между различными значениями шкалы, она тем не менее называется метрической шкалой, и с ее помощью мы можем выполнять обычные алгебраические операции типа сложения величин и вычисления средней арифметической величины. К числам, полученным при интервальном измерении, допустима операция вычитания, однако операция сложения, умножения и деления содержит в себе элемент неопределенности. Таким образом, шкала интервалов имеет значительные преимущества с точки зрения техники измерения по сравнению с номинальной и порядковой шкалами (см. табл. 11).

Таблица 11

Характеристики шкалы интервалов

Свойства шкалы	Определяет величину различия проявления свойств. Не определяет уровни исчезновения свойств. Имеет масштабную единицу. Сравнивает на сколько больше
Область применения	Уровни проявления психических, физических свойств. Календарное время. Измерение температуры по шкале Цельсия, Фаренгейта. Рейтинговая оценка в учебе, спорте
Статистический аппарат	Частота ni. Относительная частота wi. Квантили Pi. Мода Mo. Медиана Me. Среднее . Дисперсия D. Коэффициент корреляции rxy

Шкала отношений

Шкала отношений (пропорциональная шкала) характеризуются возможностью определения каждого из следующих четырех соотношений: равенство, ранговый порядок, равенство интервалов и равенство отношений. В свою очередь, равенство отношений может быть установлено только в том случае, когда по шкале может быть найдена естественная (абсолютная) нулевая точка.

Измерение в шкале отношений существенно отличается от интервального тем, что положение абсолютной нулевой точки известно, что указывает на полное отсутствие измеряемого свойства. Все операции, присущие цифрам (сложение, вычитание, умножение и деление), можно производить без каких-либо ограничений. Отношения чисел, присвоенных в измерении, отражают количественные отношения измеряемого свойства. Поэтому в условиях шкалы отношений возможны утверждения, что у A в два, четыре раза больше свойств, чем у B. Значение абсолютного нуля свидетельствует об отсутствии оцениваемого свойства.

Примерами измерения в шкале отношений могут служить измерения размеров и веса предметов, измерение температуры по шкале Кельвина. Эти отношения могут быть интерпретированы как отношения свойств измеряемых объектов. Числа, присвоенные предметам, обладают всеми свойствами объектов интервальной шкалы, но, помимо этого, на шкале существует абсолютный нуль.

В педагогике, психологии и других социальных науках подобная шкала может использоваться только в том случае, если измерению подлежат размер, вес и тому подобные признаки испытуемых. Изучая психические признаки, мы в лучшем случае достигнем уровня шкалы интервалов (см. табл. 12).

Таблица 12

Характеристика шкалы отношений

Свойства шкалы	Определяет абсолютно любые отношения между уровнями проявления свойств. Имеет масштабную единицу. Фиксирует исчезновение свойства
Область применения	Скорость выполнения задания. Количество однородных сделанных ошибок. Количество запоминаемых при первоначальном изучении слов иностранного языка. Процент учащихся. Объем часов по предметам. Измерение температуры по шкале Кельвина (абсолютный нуль). Измерение массы, размеров, отсчет времени от начала (до конца)
Статистический аппарат	Частота ni. Относительная частота wi. Квантили Pi. Мода Mo. Медиана Me. Среднее . Дисперсия D. Коэффициент корреляции rxy

Основные понятия по теме

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ – совокупность данных в выборке, сгруппированных и упорядоченных по определенным характеристикам.

ДИСПЕРСИЯ [< лат. dispersus – рассеянный, рассыпчатый] в математической статистике и теории вероятностей – наиболее употребляемая мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего.

КАЗУАЛЬНЫЙ [< лат. casualis < casus – случай] – случайный, единичный, не поддающийся обобщению.

КВАНТИТАТИВНЫЙ [< лат. quantitas – количество] – количественный.

КВАНТИФИКАЦИЯ [< лат. quantum – сколько + fasere – делать] – количественное выражение качественных признаков (напр., оценка в баллах, рейтинговая оценка).

КВАНТОВАНИЕ – иначе дискретизация – деление на кванты; представление какой-либо величины в виде последовательного ряда ее отдельных (дискретных) значений в соответствии с определенным законом.

КОРРЕЛЯЦИЯ [< лат. correlatio] в математической статистике – понятие, которым отмечают связь между явлениями, если одно из них входит в число причин, определяющих другие, или если имеются общие причины, воздействующие на эти явления (функция является частным случаем корреляции); корреляция может быть полной (при этом, зная значение одной переменной, можно точно предсказать значение второй), неполной (при этом между двумя переменными существует лишь более или менее систематическая связь) или нулевой, если две переменные никак не связаны друг с другом. Корреляция может быть положительной, когда обе переменные изменяются в одном направлении, или отрицательной, если эти изменения противоположны. Число, показывающее степень тесноты корреляции, называется коэффициентом корреляции (это число заключено между
-1 и +1).

КОРРИГИРОВАТЬ [< лат. corrigere – исправлять] – вносить поправки, исправлять.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ – частное от деления суммы различных значений на их число

Вопросы и задания для самоконтроля

Что представляет собой измерение в номинальной шкале (шкале наименований)?

Каковы условия для применения порядковой (ранговой, ординальной) шкалы?

Чем характеризуется шкала интервалов?

Каковы необходимы условия для измерения в шкале отношений (пропорций)?