Решение задач, организуя правдоподобные рассуждения «от конца к началу»

Папп, знаменитый греческий математик, живший предположительно около 300г. нашей эры, в седьмом томе своего «Математического сборника» изложил известные ему Начала анализа и синтеза, используемые для решения задач и, прежде всего, «задач на нахождение», Используя свободный перевод и некоторую перефразировку, постараемся осмыслить и практически использовать следующие методологические положения.

Исходным пунктом анализа является допущение, что задача уже решена. Необходимо представить конечную ситуацию и увидеть (найти) идею, позволяющую ее разрешить. В свою очередь реализация возникшей идеи превращается в новую задачу в пределах ситуации исходных условий. Мы пытаемся найти очередную идею, которая позволяет разрешить возникшую проблемную ситуацию. И так продолжаем продвигаться от одной ситуации к другой, подыскивая очередную идею для решения. В конечном итоге мы обнаруживаем, что при вновь возникшей ситуации больше не требуется идей, т. к. она разрешается имеющимися средствами. Действия по решению всей задачи выстраиваем в обратном порядке. Это и будет синтезом. Этот подход можно назвать решением задач, организуя правдоподобные рассуждения от конца к началу.

Тогда, имеем две стратегии. Анализ целей и средств является примером прямой стратегии — все планируемые действия ориентированы на приближение к подцели и, в конечном итоге, к основной цели. И стратегия планирования операций решения с конца, которые обеспечивают движение от конечной цели назад — к текущему или исходному положению. Простейшим примером второй стратегии может служить игра в обожаемые детьми лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша. Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, отходящих от начальной точки и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Даже маленькие дети понимают, что они смогут ускорить решение такой задачки-лабиринта, если пойдут в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта.

Стратегия решения с конца удобна, когда из конечной точки ведет меньше путей, чем из исходного положения. А это, как правило, всегда!

Разумеется, эта стратегия может быть применена не только для прохождения лабиринтов. Рассмотрим такую задачу: «Площадь, которую открывают водяные лилии на одном из озер, удваивается каждые двадцать четыре часа. С того момента, как появилась первая лилия, до того, когда лилии полностью покрыли поверхность озера, прошло шестьдесят дней. Когда озеро было покрыто наполовину?».

Единственным путем решения этой задачи является применение стратегии решения с конца. Можете ли вы решить ее, пользуясь этой подсказкой? Если озеро полностью было покрыто лилиями на 60-й день, а площадь, которую покрывают лилии, удваивалась каждые сутки, какая часть озера была закрыта в 59-й день? Ответ: половина. Таким образом, пользуясь обратным ходом, мы легко решили эту задачу. Прямая стратегия решения этой задачи наверняка завела бы нас в тупик.

Иногда оказывается эффективной комбинация прямой стратегии и стратегии решения с конца. Вы можете начать с конечного выражения, преобразуя его до какой-то определенной стадии, затем последовательно переходить от преобразования этого выражения к преобразованию исходного выражения и, наоборот, — до тех пор, пока они не совпадут на каком-то промежуточном этапе.

И 17Основные понятия системной методологии

Можно предположить, что за этим стоит все более широкое научное и практическое осознание системности как одного из важнейших параметров окружающего нас мира и методологическое осмысление ее в качестве особого измерения действительности.

Исходное значение понятия «система» (греч. sistema) – целое или соединение, составленное из частей. И хотя оно в последующем определялось, уточнялось, конкретизировалось, расширялось многократно и по-разному (более 200 определений), все-таки сохраняет свой изначальный смысл. Для сравнения назовем два определения.

Система представляет собой определенное (отграниченное) множество взаимосвязанных элементов, образующее устойчивое единство и целостность, обладающее интегральными свойствами и закономерностями.

Система – это любой объект, который характеризуется свойствами и отношениями между объектами, являющимися его частями.

Ключевыми словами в этих определениях следует считать: элемент и целостность. Элемент – это тоже система в целостном, но в свернутом (пока нераскрытом нами) виде, обладяющая также интегральным (но своим) свойством. Элемент характеризует нижний предел анализа системы, необходимый, но еще недостаточный для ее полного определения (опредмечивания). Дальнейшее определение системы осуществляется, используя понятия: множество, отграниченность, единство, взаимосвязь, совокупность. Они вместе или по отдельности часто сами используются в качестве синонимов системы, но в понимании системы они в обобщенном смысле отражают – структурированность элементов (структуру системы) Это очень важная характеристика системы, определяющая интегральное свойство ее. Само интегральное (целостное) свойство не простая сумма свойств элементов, а именно самобытное свойство их совокупности, которое не наличествует у ее элементов, а если и наличествует, то все же не является их интегральным свойством. Осмыслим сказанное на примерах.

Обычный березовый веник – это структурированная совокупность (система) прутиков (элементов), обладающая и гибкостью, и прочностью, но в то же время сами прутики характеризуются лишь гибкостью и не прочные.

Металлический канат (трос) – это структурированная совокупность проволочек (свитых из определенного количества прядей и проволочек в прядях), обладающая и гибкостью и прочностью, благодаря которым данная система способна воспринимать значительную нагрузку при многократных изгибах, т.е. быть канатом, выполнять функцию каната. Быть канатом, быть веником и есть интегральное свойство названных систем как целого, состоящего из элементов. В настоящее время стараются развести смысл понятий «элемент» и «часть». «Элемент» как самостоятельная система, как целое по смыслу не равен «части». «Часть» - это состояние целого, состоящего из элементов, определенное во времени и/или пространстве, т.е. «часть» обладает в какой-то степени свойством целого, но оно уже или еще не целое. Не достроенный дом, развалины дома, нежилой дом. Часть – в смысле частица.

Система – это форма существования материи. Системы могут рождаться, превращаться, разрушаться и в этом плане характеризовать процесс развития, способ существования - движение.

Элемент и целостность характеризуют процесс взаимодействия и взаимосвязи как в самой системе, так и между системами в целом, т.е. в Мире. Однако это отражает в большей мере условие, как закон его существования, чем результат: Мир целостен, состоит из элементов, которые сами собой представляют целостность (иного порядка). Только будучи целым, элемент включается во взаимодействие, образуется взаимосвязь в новом целом, более высокого порядка. В таком случае можно говорить о том, что элемент и целостность характеризуют и устойчивость образующихся систем.

Чтобы существовать в Мире, надо обладать и устойчивостью и изменчивостью своих элементов. Мера устойчивости и изменчивости в целом и образует феномен системы. «…Органическая система как совокупное целое имеет свои предпосылки, и ее развитие в направлении целостности состоит именно в том, чтобы подчинить себе все элементы… или создать еще недостающие ей органы. Таким путем система в ходе исторического развития превращается в целостность. Становление системы такой целостностью образует момент ее, системы, процесса, ее развития». К. Маркс.