ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ неустановившейся ФИЛЬТРАЦИИ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости и уравнениями движения. В качестве уравнения состояния среды и жидкости используются упрощенные эмпирические соотношения. Как показывают результаты лабораторных экспериментов на образцах пород-коллекторов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с изменением пористости вследствие происходящих деформаций существенны изменения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубокозалегающим нефтяным и газовым месторождениям. Это вызывает необходимость учета в фильтрационных расчетах как при упругом, так и при других режимах фильтрации изменений проницаемости с изменением пластового давления. Однако изложение этого раздела в более общей постановке, предусматривающей также введение в уравнения фильтрации зависимости проницаемости от давления, заметно усложнит изложение, поэтому, для упрощения, учитывать эту зависимость не будем.

В качестве уравнения движения используем линейный (закон Дарси) и нелинейный (двучленный) закон фильтрации.

Дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемого флюида по закону Дарси в деформируемой пористой среде, при k = const, μ = const:

где m – коэффициент пористости среды;

ρ – плотность флюида, кг/м³;

t – время, с;

∇²P – оператор Лапласа от функции Лейбензона;

P = ∫ρ(p)dp + C – функция Лейбензона;

p – давление в рассматриваемой точке пласта, Па.

Используем уравнение состояния упругой жидкости:

где ρ₀ – начальная плотность флюида, кг/м³;

p₀ – начальное давление, Па.

Используем уравнение состояния упругой пористой среды:

где m₀ – начальный коэффициент пористости среды.

Используя данные формулы и обратившись к рассуждениям Басниева [1], получим:

где χ = k/(ηβ*) – коэффициент пьезопроводности пласта, м²/с;

β* = β_жm₀+β_c – коэффициент упругости насыщенного пласта, м с²/кг;

x, y, z – координаты точки потока, м.

Уравнение (4) – основное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации. Оно названо уравнением пьезопроводности.

Коэффициент пьезопроводности характеризует скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде.